
- •Глава 1: Проценты 6
- •Глава 2: Арифметическая и геометрическая прогрессии 13
- •Глава 3: Геометрические построения в орнаментах и мозаиках 21
- •Глава 4: Пропорции 41
- •Глава 5: Немного о математике храмов Древней Руси (XI-xiIвв.) 57
- •Глава 7: Измерение фигур 76
- •Глава 8: Метод координат 87
- •Глава 9: Функции и графики 103
- •Глава 10: Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка 111
- •Глава 11: Непрерывность функции. Производная и кривизна 122
- •Глава 12: Интегральное исчисление 133
- •Глава 1 Проценты
- •Понятие процента
- •Абсолютная и относительная погрешность
- •Проценты вокруг нас
- •Применение процентов в банковской практике. Начисление процентов на вклад по простой и сложной схеме
- •Использование приближенных формул и таблиц, когда n велико
- •Сравнение сложной и простой схемы
- •Глава 2 Арифметическая и геометрическая прогрессии Метод полной индукции
- •Арифметические прогрессии
- •Геометрическая прогрессия
- •Бесконечные прогрессии
- •Примеры из финансовых расчетов
- •Глава 3 Геометрические построения в орнаментах и мозаиках Основные построения с помощью циркуля и линейки
- •Деление окружности на равные части с помощью циркуля и линейки
- •Построение логарифмической спирали
- •Построение узоров в круге на основе сеток
- •Движения на плоскости – перенос, поворот на угол , симметрии
- •Симметрия в орнаментах
- •Розетки
- •Бордюры
- •Решетки
- •Симметричные мозаики (паркеты)
- •Глава 4 Пропорции Понятие пропорции
- •Преобразование подобия. Гомотетия
- •Пропорция . Нормальный полиграфический лист
- •Метод «квадрата и его диагонали» в русской архитектуре. Восьмерики
- •Средние значения двух величин
- •Золотое сечение (деление отрезка в среднем и крайнем отношении)
- •Последовательность Фибоначчи и золотое сечение
- •Спираль Дюрера и «золотые» треугольники
- •"Золотая" пропорция и правильные многоугольники
- •«Золотая» прогрессия. «Золотые» модулеры
- •Производные «золота»
- •Глава 5 Немного о математике храмов Древней Руси (XI-xiIвв.)
- •Геометрические построения, применявшиеся древними мастерами
- •Некоторые стандарты планировки интерьера храма
- •Построение “золотого” плана циркулем и линейкой
- •Двухстолпный и бесстолпный храмы
- •План четырехстолпного храма
- •Глава 6 Размерение сооружений, имеющих "золотые" пропорции Модулер Корбюзье
- •Меры древней Руси
- •Глава 7 Измерение фигур
- •Измерение температуры
- •Тригонометрические функции
- •Решение треугольников
- •Площади плоских фигур
- •Многогранники
- •Правильные многогранники
- •Правильные пирамиды
- •Египетские пирамиды
- •Объемы фигур
- •Площади боковых поверхностей
- •Глава 8 Метод координат
- •Декартовы координаты
- •Векторы на плоскости
- •Полярная система координат
- •Связь между декартовыми координатами и полярными
- •Линии и их уравнения
- •Уравнение спирали Архимеда
- •Уравнение логарифмической спирали
- •Декартова система координат в трехмерном пространстве
- •Векторы в трехмерном пространстве
- •Сферические координаты
- •Сферические координаты в географии.
- •Орнаменты на сфере. Изогнутые крыши
- •Глава 9 Функции и графики Понятие функции
- •Четные и нечетные функции.
- •Периодические функции.
- •Монотонные функции.
- •Элементарные функции
- •Операции над графиками двух функций
- •Уравнение прямой на плоскости
- •Изменение уравнения линии при изменении системы координат
- •Глава 10 Конические сечения (коники). Кривые 2-го порядка Гипербола
- •Парабола
- •Эллипс как сжатая окружность. Каноническое уравнение эллипса
- •Построение овала с помощью циркуля и линейки. Характеристический прямоугольник. Фокусы эллипса
- •Эксцентриситет эллипса и параболы
- •Конические сечения
- •Кривые второго порядка
- •Проекции и конические сечения
- •Поверхности второго порядка в пространстве
- •Шары, эллипсоиды, конусы, цилиндры, параболоиды, гиперболоиды
- •Прямолинейные образующие
- •Глава 11 Непрерывность функции. Производная и кривизна Понятие предела
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •Производная и ее геометрический смысл
- •Основные правила дифференцирования
- •Производные высших порядков
- •Роль производных в приближенных вычислениях
- •Производная и скорость изменения функции. Скачок производной
- •Знак производной и монотонность функции. Обращение производной в ноль
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Выпуклые, вогнутые и кровли с перегибом
- •Кривизна дуги
- •Глава 12 Интегральное исчисление Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования
- •Определенный интеграл. Задача о площади
- •Вычисление определенного интеграла
- •Основные свойства определенного интеграла.
- •Вычисление длин дуг.
- •Вычисление площади и длины дуги в полярных координатах
- •Вычисление длины окружности и площади круга и эллипса
- •Объем тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Ответы к задачам
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Приложение
- •Изображение окружности и шара
- •Гирлянды (парабола)
- •Формулы
Векторы на плоскости
Рассмотрим
на плоскости две точки А и В. Обозначим
через
=
вектор АВ, понимая под этим направленный
отрезок АВ, т.е. отрезок, у которого точка
А является началом, а точка В концом
(рис 2а.).
Длина
вектора
(расстояние между точками А и В) называется
его модулем и обозначается |
|.
Вектор нулевой длины называется нулевым,
его
обозначение
или просто 0.
Для
любого вектора
и
любого числа k
определим
вектор
=
k
,
являющийся произведением вектора
на число k,
с помощью правила:
вектор
имеет то
же направление, что и вектор
,
если k>0,
и противоположное, если k<0,
и |
|=|k||
|
(на рисунке
2б показаны вектора
и
).
Суммой
двух векторов
и
будем называть вектор
,
полученный по следующему правилу:
расположим векторы и так, чтобы начало вектора совпало с концом вектора ; тогда началом вектора будет начало вектора , а его концом - конец вектора (рис. 2в).
Правило сложения векторов можно сформулировать иначе, в виде правила параллелограмма:
пусть начала векторов и совпадают; рассмотрим параллелограмм, у которого эти векторы являются соседними сторонами; тогда суммой векторов и является вектор - диагональ этого параллелограмма, с началом в общей для векторов и точке (рис. 2г).
Разностью
векторов
и
называют вектор
,
для которого
(рис.2д).
Рассмотрим
декартову систему координат. Обозначим
через
и
векторы единичной длины, направленные
по осям координат.
Возьмем
произвольный вектор
и поместим его начало в начало координат,
его конец - точка М с координатами х
и y.
Спроектируем вектор
=
на координатные оси (рис. 3а). Имеем:
.
Говорят, что х
и y
являются координатами вектора
в этой системе координат и записывают
это следующим образом:
(x,y).
Длина вектора
(x,y)
(его модуль) вычисляется по формуле: |
|
=
.
Легко
видеть, что если
(x',y')
связан с
вектором
(x,y)
соотношением
=k
,
то аналогичным соотношением связаны и
их координаты: x'=kx,
y'=ky
(рис. 3б).
Аналогично
координаты суммы векторов равны сумме
координат слагаемых (рис. 3в). Пусть
=
(x1,y1),
=
(x2,y2),
=
(x3,y3)
и
.
Тогда x3=x1+x2
и y3=y1+y2.
Примеры
1. Заданы 2 вектора = (3,0), = (-2,0), найти = (x,y), если . Найти модули всех векторов, участвующих в задаче.
Решение.
x=3-2=1,
y=0-0=0,
=
(1,0),
|
|=
,
|
|=2,
|
|=1
(рис. 4а).
2. К точке приложены 4 силы, их направление и величина изображены на рисунке 4б (если соединить концы векторов, то получится параллелограмм). Чему равна равнодействующая всех сил?
Решение. Равнодействующая равна нулю, так как силы, направление которых совпадает с направлением одной и той же диагонали, равны по величине, но противоположны по направлению.
3.
Угол между двумя равными по величине
векторами
и
равен 60.
Чему равна длина вектора суммы
вектора разности
=
-
.
Решение приведено на рисунке 4в:
|
|=
|
|,
|
|=|
|