Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика1.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
18.4 Mб
Скачать

Векторы на плоскости

Рассмотрим на плоскости две точки А и В. Обозначим через = вектор АВ, понимая под этим направленный отрезок АВ, т.е. отрезок, у которого точка А является началом, а точка В концом (рис 2а.).

Длина вектора (расстояние между точками А и В) называется его модулем и обозначается | |. Вектор нулевой длины называется нулевым, его обозначение или просто 0.

Для любого вектора и любого числа k определим вектор = k , являющийся произведением вектора на число k, с помощью правила:

вектор имеет то же направление, что и вектор , если k>0, и противоположное, если k<0, и | |=|k|| | (на рисунке 2б показаны вектора и ).

Суммой двух векторов и будем называть вектор , полученный по следующему правилу:

расположим векторы и так, чтобы начало вектора совпало с концом вектора ; тогда началом вектора будет начало вектора , а его концом - конец вектора (рис. 2в).

Правило сложения векторов можно сформулировать иначе, в виде правила параллелограмма:

пусть начала векторов и совпадают; рассмотрим параллелограмм, у которого эти векторы являются соседними сторонами; тогда суммой векторов и является вектор - диагональ этого параллелограмма, с началом в общей для векторов и точке (рис. 2г).

Разностью векторов и называют вектор , для которого (рис.2д).

Рассмотрим декартову систему координат. Обозначим через и векторы единичной длины, направленные по осям координат.

Возьмем произвольный вектор и поместим его начало в начало координат, его конец - точка М с координатами х и y. Спроектируем вектор = на координатные оси (рис. 3а). Имеем: . Говорят, что х и y являются координатами вектора в этой системе координат и записывают это следующим образом: (x,y). Длина вектора (x,y) (его модуль) вычисляется по формуле: | | = .

Легко видеть, что если (x',y') связан с вектором (x,y) соотношением =k , то аналогичным соотношением связаны и их координаты: x'=kx, y'=ky (рис. 3б).

Аналогично координаты суммы векторов равны сумме координат слагаемых (рис. 3в). Пусть = (x1,y1), = (x2,y2), = (x3,y3) и . Тогда x3=x1+x2 и y3=y1+y2.

Примеры

1. Заданы 2 вектора = (3,0), = (-2,0), найти = (x,y), если . Найти модули всех векторов, участвующих в задаче.

Решение. x=3-2=1, y=0-0=0, = (1,0), | |= , | |=2, | |=1 (рис. 4а).

2. К точке приложены 4 силы, их направление и величина изображены на рисунке 4б (если соединить концы векторов, то получится параллелограмм). Чему равна равнодействующая всех сил?

Решение. Равнодействующая равна нулю, так как силы, направление которых совпадает с направлением одной и той же диагонали, равны по величине, но противоположны по направлению.

3. Угол между двумя равными по величине векторами и равен 60. Чему равна длина вектора суммы вектора разности = - .

Решение приведено на рисунке 4в:

| |= | |, | |=| |