Абсолютная и относительная погрешность

Для того, чтобы охарактеризовать точность, с которой задается некоторая величина, используют понятие погрешности значения.

Если а0 есть точное значение измеряемой величины, а х – приближенное значение этой величины, то =|х-а| называется абсолютной погрешностью. Говорят, что число х имеет n верных знаков, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-ой значащей цифрой. Таким образом, все знаки числа, полученного с помощью правильно выполненного округления, верные.

Величина называется относительной погрешностью измеряемой величины. Относительную погрешность принято выражать в процентах. Чтобы выразить относительную погрешность в процентах, ее надо умножить на 100. Если бы относительная погрешность получилась равной 0,01, то есть погрешность составила бы сотую часть истинного значения, мы могли бы сказать, что она составляет один процент (1%). Относительная погрешность 0,02, выраженная в процентах, это 2%. Относительная погрешность 0,005 – это погрешность в 0,5%.

Приведем пример.

Для числа , равного =3,1415926…, в древние времена применялись разные приближенные значения. Самым простым приближением, часто использующимся на практике, является число 3.

Определим погрешность этого приближения. В качестве «правильного значения» в данном случае достаточно взять значение =3,142 (мы округлили число 3,1415926…, оставив 3 знака после запятой (говорят, что число задано с точностью до 0,001):

Пока не были разработаны математические методы, значение числа  пытались получить из практики. Например, можно прокатить колесо на один оборот и измерить длину следа. Для диаметра колеса 4 фута длина окружности колеса равна примерно 12,5 футам. Отсюда получается, что 12,5:4=25/8=3,125.

Погрешность этого приближения:

Архимед для определения значения  применял математические методы. Он искал приближение для числа , вписывая в окружность и описывая около нее правильные многоугольники и удваивая число их сторон. Начав с шестиугольника и дойдя до 96-угольника, он получил следующую оценку для : . Эта оценка оставалась лучшей в течение очень долгого времени. Используемое на практике значение 3,14 дает даже немного меньшую точность, чем дробь . На Руси приближение для числа  в виде дроби было хорошо известно.

Его погрешность:

Для практических целей такая точность более чем достаточна.

Проценты вокруг нас

Использование относительных, а не абсолютных значений дает возможность описывать разницу значений двух величин безотносительно к единице измерения. Вы можете измерять величину и ее абсолютную погрешность в метрах или в сантиметрах (в тоннах или в килограммах и т.д.). Относительная погрешность останется неизменной, - она величина безразмерная (например, сотая часть значения, или 1%). Уже в V веке индийцам были известны проценты (в Индии счет велся в десятичной системе, в Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже). Таким образом, практика использования процентов насчитывает века. Окружающая нас жизнь дает массу примеров того, что проценты прочно вошли в наш быт.

Рассмотрим пример. Фирма понесла убытки в размере 10000 рублей – это убытки в абсолютном выражении. Выглядит это по-разному, в зависимости от того, убыток в 10000 рублей произошел при затратах 1000000 рублей или 20000 рублей. В первом случае 10000 рублей составляют сотую часть от вложенной суммы, во втором случае – половину. Мы говорим в первом случае: "Убытки фирмы составили один процент", а во втором случае, когда фирма потеряла половину вложенных денег: "Убытки фирмы 50%" (мы описали убытки в относительном выражении и величину "относительных" убытков задали в процентах).

Повышение цен, уценка товаров обычно выражаются в процентах. Например, во время распродажи, цены всех товаров могут быть снижены на 50%. При кризисе или в результате инфляции цены возрастают на некоторый процент. Если первоначальное значение величины обозначить через S, то новое значение S₁, которое получается в результате увеличения значения S на р%, вычисляется по формуле , а после уменьшения на р% - по формуле .

Примеры

1. В магазине рубашка стоит 150 рублей. Ее уценили на 10%. Сколько стоит рубашка после уценки?

Решение:

10% от 150 рублей–это 15 рублей. Таким образом, новая цена рубашки равна

150-15=135 рублей

Ответ: новая цена рубашки 135 рублей.

2. На рынке колбаса стоит 100 рублей за килограмм, а в магазине – 115 рублей. На сколько процентов колбаса дороже в магазине, чем на рынке? На сколько процентов колбаса на рынке дешевле, чем в магазине?

Решение:

100(1+р:100)=115, т. е. 100+р=115, отсюда р=115-100=15

Для того, чтобы ответить на второй вопрос цену 115 рублей принимаем за 100%. 15 рублей от 115 это 15:11510013,04%

Два разных ответа во второй задаче демонстрируют, как важно, какая из двух величин принята за 100%. В первом случае – это цена колбасы на рынке, во втором – цена в магазине.

Часто вместо процентов р используется дробь . Через i новое значение S₁ вычисляется через старое по формуле: S₁=S(1+i) - после увеличения на р% и S₁=S(1-i) - после уменьшения на р%.

Если величина меняется сначала на р₁%, а затем еще на р₂%, то новое значение =S(1i₁)(1i₂) - знак плюс соответствует увеличению на р%, а минус – уменьшению.

Примеры

1. Стоимость товара была 1800 рублей. За эту цену продать его не удалось, цену на товар снизили на 15%, через год еще на 12%. Только тогда его удалось продать. За какую цену продали товар и на сколько процентов упала его цена?

Решение:

Товар продали за:

1800(1-0,15)(1-0,12)=180000,850,88=18000,748=1800(1-0,252)=1346,4рублей

Таким образом, цена товара понизилась на 25,2% (а не на 27%).

2.Налог на прибыль 13%. Какую надо получить прибыль, чтобы заработать 1000рублей?

Решение:

Если обозначить искомую прибыль через Р, то после уплаты налога в 13% останется чистая прибыль 1000=Р(1-0,13). Отсюда Р=1000:0,871149,4 руб.1500 руб., т. е. для того, чтобы заработать 1000рублей, надо выручить примерно 1150 рублей.

3. В связи с инфляцией цены на товары растут. За первый изучаемый год цена товаров в среднем выросла на 10%. В следующем году на 15%. Во сколько раз увеличилась в среднем цена товаров S за два года? На сколько процентов выросла цена товаров за 2 года?

Решение:

Цена товаров стала S₂=S(1+0,1)(1+0,15)=S1,265=S(1+0,265), то есть цена товаров выросла за 2 года в 1,265 раз, или на 26,5% (а не на 25%). Говорят, что инфляция за 2 года составила 26,5%, а средняя инфляция за год в этот период составила 12,47%, так как и (1,1247)²1,265

4.Постоянный темп инфляции на уровне 10% в месяц за год приводит к росту цен в (1+0,1)¹² раз. А это примерно 3,1384 (проверьте этот результат с помощью калькулятора).