"Золотая" пропорция и правильные многоугольники

Выпуклый n-угольник, чьи стороны и углы равны, называется правильным n-угольником. Научившись делить окружность на n равных частей, мы научились строить правильные многоугольники. В правильный многоугольник можно вписать окружность. Вокруг него можно описать окружность. Точка, равноудаленная от вершин и сторон многоугольника, называется его центром. Он служит одновременно центром вписанной и описанной окружности. Угол, под которым видна сторона многоугольника из его центра, называется центральным. Центральный угол  правильного n-угольника равен . Угол при вершине называется внутренним углом многоугольника. Величина углов, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, вершина одного из которых – центр окружности (центральный угол, его величина ), а вершина другого лежит на окружности (такие углы называются вписанными, его величина ), связаны соотношением: =/2. Величина внутреннего угла  вычисляется по формуле: . Действительно, центральный угол, соответствующий внутреннему углу правильного многоугольника, состоит из n-2 углов размером 360/n. Откуда и получается приведенная формула.

Приведем значения величины центрального и внутреннего угла правильного многоугольника для наиболее часто встречающихся многоугольников (рис.9).

1. Правильный треугольник (n=3), =120, =180:3=60

2. Квадрат (n=4), =90, =90

3. Пятиугольник (n=5), =72, =1803:5=108

4. Шестиугольник (n=6), =60, =120

5. Восьмиугольник (n=8), =45, =135

6. Десятиугольник (n=10), =36, =144

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна R (рис. 9). Действительно, центральный угол десятиугольника равен 36. Сторона правильного десятиугольника является основанием равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны радиусу описанной окружности R. У этого треугольника углы при основании равны (180-36):2=72. Такой треугольник мы только что описали. Его основание в  раз короче боковой стороны, равной R, то есть его длина равна R.

Отсюда получаем способ деления окружности на 10 частей. В окружности радиуса R с центром О проводим вертикальный и горизонтальный диаметры. На горизонтальном диаметре располагаем центры 2-х окружностей радиуса R/2 (рис. 10а). Окружность с центром А, касающаяся окружностей О₁ и О₂, делит точкой D отрезок ОА в "золотом" отношении (см. рис. 7б), то есть AD=AB=AC=R.

Таким образом, равнобедренный треугольник АОС имеет стороны R, R и R и он подобен "золотому" треугольнику, углы которого равны 72, 72 и 36 и его основание АС является стороной правильного многоугольника, число сторон которого находим из соотношения 360:n=36, то есть n=10, а хорда ВС – сторона правильного пятиугольника.

Соединив через одну вершины десятиугольника с помощью прямых, получим правильный пятиугольник, а соединив через одну вершины пятиугольника - пятиконечную звезду (рис. 10б).

Правильный пятиугольник и построенная на его основе пятиконечная звезда порождают знакомые уже нам равнобедренные "золотые" треугольники (на чертеже отмечены жирной штриховкой). Действительно, три угла с вершиной А равны друг другу, так как опираются на равные дуги. Следовательно, каждый из них равен 108:3=36. Аналогично равны 36 все остальные углы между стороной пятиугольника и лучом звезды или между двумя лучами звезды. В силу равенства длин лучей звезды все треугольники, две стороны которых лучи звезды, – равнобедренные.

Таким образом, AD:AC=AC:CD=AB:BC=AD:AE=AE:EC=…=Ф. Из приведенной пропорции можно вывести следующие соотношения для сторон пятиугольников и лучей звезд. Например, примем длину ВС за 1. Тогда АВ=CD=Ф, AE=Ф²,… Продолжая ребра пятиугольника, можно получить еще одну пятиконечную звезду, затем еще одну и т.д. – целую последовательность разбегающихся наружу звезд и пятиугольников. Соединяя между собой через одну вершины пятиугольников, получим последовательность звезд, сходящихся к центру окружности.