Спираль Дюрера и «золотые» треугольники

Обозначим большую сторону "золотого" прямоугольника через а, а короткую через х. Если от "золотого" прямоугольника отсечь квадрат, остается прямоугольник, большая сторона которого равна х, а малая а-х (рис. 7г). Отношение его сторон в силу соотношения равно соотношению сторон в первоначальном прямоугольнике. То есть новый прямоугольник подобен первоначальному.

Если отсечь от оставшегося прямоугольника квадрат, от оставшегося прямоугольника снова отсечь квадрат и т.д., то получится бесконечная последовательность квадратов, стороны которых уменьшаются в геометрической прогрессии. В пределе они заполнят весь первоначальный квадрат, сойдясь в точке, которая называется полюсом золотого прямоугольника. В этой точке пересекаются диагонали золотых прямоугольников. На рисунке 7г изображена спираль, метод построения которой предложен Дюрером, – в каждый квадрат «золотого» прямоугольника вписывается четверть круга. Эта спираль имеет бесконечное количество витков, закручиваясь вокруг полюса золотого прямоугольника. Такая спираль проста в построении и часто встречается в различных орнаментах. Она же может использоваться для приближенного построения спиралей, встречающихся в ионическом ордере.

В творениях и древних мастеров, и мастеров Возрождения часто просматриваются геометрические фигуры, пропорции которых связаны с "золотым" отношением. В "золотой" прямоугольник вписывается фасад Парфенона.

Из двух отрезков, длины которых относятся в «золотой» пропорции можно построить треугольники, которые часто служили основой для определения пропорций архитектурных и художественных произведений.

Замечательными свойствами обладает равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равно Ф (или отношение длины основания к длине боковой стороны равно ). Для того, чтобы построить такой треугольник, построим "золотой" прямоугольник, затем строим треугольник по его 3 заданным сторонам. В качестве основания берем короткую сторону прямоугольника, а боковые стороны равны длинной стороне прямоугольника (рис. 8а,б). Некоторые исследователи считают, что этот треугольник лежит в основе пропорции портрета Моны Лизы (рис. 8в). Углы этого треугольника при основании равны 72, а угол, противолежащий основанию, равен 36. Покажем, что отношение основания к боковой стороне равнобедренного треугольника, углы которого равны 72, 72 и 36, есть "золотое" число . Проведем биссектрису AD угла А при основании (рис. 8а). Биссектриса разобьет треугольник АВС на 2 треугольника – ABD и ADC. Полученные треугольники равнобедренные. У треугольника AВD углы равны 36, 36 и 108. Следовательно, BD=AD=AC. У треугольника ADC углы равны 72, 36 (половина угла в 72) и ADC, равный 180-72-36=72. То есть, треугольник ADC – равнобедренный и длина биссектрисы угла при основании равна длине самого основания. Он подобен первоначальному треугольнику АВС (они имеют одинаковые углы). Из подобия этих треугольников следует, что: . Кроме того, ВС=BD+DC=AD+DC=AC+DC и, следовательно, DC=ВС-АС. Введем обозначения: АС=а, АВ=k и подставим эти значения в пропорцию: . Обозначим , и решаем уравнение:

Таким образом, отношение длины боковой стороны треугольника, углы которого равны 72, 72 и 36, к длине основания есть "золотое" число Ф (положительный корень), отношение длины меньшей стороны к длине большей равно  и конец биссектрисы делит боковую сторону в "золотом" отношении 1:=Ф:1 (рис. 8а).