Глава 4 Пропорции Понятие пропорции

Пропорцией называется равенство двух отношений: . Это равенство можно переписать в виде: ad=b, что позволяет найти любой член пропорции, если известны три других ее члена. Например, найти неизвестный член пропорции х, если . Решение такое.

190х=20114

х=20114:190=12

Параллельные прямые, пересекающие угол, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 1а). Это позволяет построить геометрическое решение задачи о нахождении неизвестного члена пропорции (рис. 1б).

Применение пропорций помогает решать задачи, в которых участвуют подобные треугольники (рис. 1в).

Например, во сколько раз увеличится основание треугольника, если сделать его подобное преобразование, увеличив высоту в  раз? Согласно теореме о пересечении угла параллельными прямыми, оно увеличится тоже в  раз. Следовательно, площадь треугольника при увеличении высоты в  раз увеличится в ² раз. Например, при увеличении высоты вдвое площадь треугольника увеличивается в 4 раза. На рис. 1 больший треугольник состоит из 4-х одинаковых треугольников.

Преобразование подобия. Гомотетия

Преобразование фигуры F в фигуру F₁ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками фигуры изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки M и N фигуры F при этом преобразовании переходят в точки M₁ и N₁ фигуры F_1, то M₁N₁=kMN; число k называется коэффициентом подобия. При k=1 преобразование подобия, очевидно, является движением. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые и отрезки в отрезки и сохраняет углы между полупрямыми. Две фигуры называются подобными, если они переходят друг в друга преобразованием подобия. У подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Таким образом, подобные фигуры имеют одинаковую форму и пропорциональные размеры. Проще всего построить подобное изображение фигуры с помощью так называемой гомотетии.

Гомотетией с центром О и коэффициентом k>0 называется такое преобразование, при котором произвольная точка М любого луча, исходящего из точки О, переходит в точку М₁ того же луча, причем ОМ₁=kОМ. Пусть F – данная фигура, О – некоторая точка, k – заданное положительное число. Возьмем произвольную точку М фигуры F. Проведем луч ОМ и отложим на нем отрезок ОМ_1, равный kОМ. Получим точку М₁ новой фигуры F₁. Преобразование фигуры F в фигуру F₁ есть гомотетия с центром О и коэффициентом k (рис. 2). Фигуры F и F₁ называются гомотетичными.

Если фигура F₁ получена из фигуры F с помощью гомотетии с коэффициентом k, то все ее линейные размеры в k раз больше при k>1, или в k раз меньше при k<1, и все углы у обеих фигур одинаковые. Площадь S₁ фигуры F₁ будет больше при k>1 (или меньше при k<1) площади S фигуры F в k² раз. Гомотетию можно использовать для изменения масштаба в k раз. Центр гомотетии может лежать, как внутри фигуры, так и вне нее (рис. 2).

Гомотетия есть частный случай преобразования подобия. Если мы фигуру F преобразуем в фигуру F₁ с помощью гомотетии с некоторым центром О и коэффициентом k, а затем "передвинем" (перенесем, повернем, отразим), то фигуры F и F₁ будут подобны, но не гомотетичны.