Движения на плоскости – перенос, поворот на угол , симметрии
Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Движениями являются поворот, параллельный перенос и преобразования симметрии – отражение относительно точки и отражение от прямой.
Параллельным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние (рис. 9а).
Поворотом около точки О на угол называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки О, поворачивается на угол в одном и том же направлении (рис. 9б).
Две точки А1 и А2 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка А1А2. Точка О называется центром симметрии точек А1 и А2 (рис. 9в).
Пусть F – данная фигура и О – некоторая точка плоскости. Через каждую точку М фигуры и точку О проведем прямую, продолжим ее за точку О на расстояние ОМ, конец отрезка М1 – точка, симметричная точке М относительно О. Тем самым мы построили для фигуры F ее симметричное отражение F1 относительно точки О (рис. 9г).
Это преобразование фигуры называется симметрией относительно точки. Если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит фигуре, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О – ее центр симметрии. Симметрия относительно центра симметрии центрально-симметричной фигуры переводит фигуру в себя. Окружность – симметрична относительно своего центра. Параллелограмм – относительно центра пересечения диагоналей (рис. 9д), прямая – относительно любой своей точки. Треугольник не имеет ни одного центра симметрии.
Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой р, если эта прямая перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину.
Пусть F - данная фигура и р – некоторая прямая. Для каждой точки М фигуры построим точку М1, симметричную точке М относительно прямой р. Для этого надо из точки М опустить на прямую р перпендикуляр, (точку пересечения назовем Р), продолжить его за точку Р и отложить на нем отрезок РМ1, длина которого равна МР. Полученная фигура F1 является зеркальным отражением фигуры F относительно прямой р (рис. 10а).
Прямая р называется осью симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой р также принадлежит фигуре, а фигура F в этом случае симметрична относительно прямой р (рис. 10б). У фигуры может быть несколько осей симметрии (рис. 10в). Осью симметрии угла является его биссектриса. Осями симметрии прямой являются сама прямая и любая перпендикулярная ей прямая. У равнобедренного (но не равностороннего) треугольника одна ось симметрии, у равностороннего их три. Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии. У квадрата осей симметрии четыре – прямые, на которых лежат диагонали, и прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно его сторонам (рис. 10г). У окружности осью симметрии является любой ее диаметр. Осей симметрии у фигуры может и не быть (рис. 10д).
Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Преобразование, обратное движению, снова является движением.
При движении прямые переходят в прямые, а углы сохраняются.