Функции lsolve
Для решения систем линейных уравнений можно также использовать стандартную функцию
lsolve(A,B),
которая возвращает вектор решений для заданных значений матрицы коэффициентов A и вектора свободных членов B. Матрица A, как и в предыдущем случае, должна быть не вырожденной.
Задача 5. Решить систему уравнений из задачи 4 с помощью функции lsolve.
Решение. Решение с проверкой представлено на рисунке 8.6.
Решение линейной системы методом Гаусса
Этот метод состоит в том, что систему n уравнений приводят последовательным исключением неизвестных к системе треугольного вида, а затем ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний (n+1) столбец содержит решение системы. В MathСAD прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(M).
З
Рис. 8.7
– Решение системы линейных уравнений
методом Гаусса
Решение. Решение с проверкой представлено на рисунке 8.7.
8.3 Решение систем нелинейных уравнений
При решении систем нелинейных уравнений в системе MathCAD используется специальный вычислительный блок (solve block), который имеет следующую структуру:
<Начальные
приближения переменных>
Given
<Уравнения>
<Ограничительные условия>
<Выражения с функциями Find или Minerr>
Здесь:
<Начальные приближения переменных> – начальные значения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;
Given – ключевое слово, которое указывает MathCAD, что далее следует система уравнений;
<Уравнения> – решаемые уравнения, количество которых равно количеству неизвестных;
<Ограничительные условия> – дополнительные ограничения на решения в виде неравенств.
Функции Find(z1, z2, z3, …) и Minerr(z1, z2, z3, …) возвращают вектор решений системы уравнений. Число аргументов z1, z2, z3,… должно быть равно числу неизвестных в уравнениях.
При наборе уравнений и неравенств следует использовать логические операторы = (булево равенство), >, и пр.
MathCAD возвращает в блоке solve block только одно решение. Для поиска конкретного решения нужно использовать соответствующие начальные приближения или дополнительные ограничения в виде неравенств. Рассмотрим использование блока решений на конкретных примерах.
З
адача
7. Решить систему уравнений
Решение. Данные уравнения допускают простую геометрическую интерпретацию (рисунок 8.8). Видно, что существует два решения системы уравнений. Для их поиска применим рассмотренный выше блок решения. В качестве ограничений будем использовать предварительную информацию, полученную из рисунка 8.8. На рисунке 8.9 приведены два варианта программы, в каждом находится один корень.
Функцию Find, которая завершает блок решения, можно использовать, как и любую другую функцию. Можно вывести найденное решение, как это сделано в программе на рисунке 8.9.
Рис. 8.9 – Решение системы нелинейных уравнений с помощью блока solve block
Можно определить новую переменную с использованием данной функции, нап-ример, a:=Find(z1,z2, …) и вектор a использовать в другом месте рабочего документа. Используя Find, можно также определить другую функцию. Для этого блок решения необходи-мо закончить выражением типа
f(a,b,c,…):=Find(z1,z2,z3,…).
Эта конструкция удобна при многократном реше-нии систем уравнений, содержащих параметры a, b, c, … . Программа на рисунке 8.10 – пример такой параметризации задачи. Предположим, что ищется пересечение прямой из предыдущей задачи и окружности переменного радиуса r. В этом случае функция определяется следующим образом: F(r):= Find(x,y). Эта функция возвращает вектор значений, элементы которого содержат x и y координаты точек пересечения.
Если в ходе решения системы уравнений итерации перестают сходиться, а нужная точность еще не достигнута, то поиск решения прекращается и выводится сообщение «No solution was found» («решение не найдено»). Причиной может быть как отсутствие решения, так и неудачные начальные приближения или ограничения. В этом случае полезно провести графический анализ системы уравнений и уточнить область, в которой могу находиться искомые решения. Это поможет выбрать более подходящее начальное приближение. В этой ситуации также можно применить вместо функции Find другую функцию – Minerr, которая работает по такому же алгоритму, но при отсутствии решения выдает значения, в наибольшей степени удовлетворяющие заданной системе уравнений и дополнительным ограничениям. Более подробно об этой функции смотрите в специальной литературе.
Рис. 8.10 – Параметризация предыдущей задачи