5. Функции нескольких переменных

8. Частные производные и дифференциал функции.

   1. Найти дифференциал функции .

   2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

9. Приложения частных производных.

   1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

   2. Для функции в точке найти градиент и производную по направлению .

6. Двойные, тройные и криволинейные интегралы

10. Двойные интегралы.

    1. Изменить порядок интегрирования:

.

2. Сделать чертеж и найти объем тела, ограниченного поверхностями и плоскостью, проходящей через точки и .

3. Сделать чертеж и найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) .

11. Тройные интегралы.

    1. Найти , если тело V ограниченно плоскостями и .

    2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями .

12. Криволинейные интегралы.

    1. Вычислить , где , , а контур С образован линиями , : а) непосредственно; б) по формуле Грина.

    2. Вычислить , где контур С является одним витком винтовой линии:

.

7. Элементы теории поля

13. Дифференциальные операции.

    1. В точке составить уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой

.

2. Найти в точке градиент скалярного поля

.

3. Найти в точке дивергенцию векторного поля

.

4. Найти в точке ротор векторного поля

.

14. Интегралы и интегральные теоремы.

    1. Убедиться, что поле потенциально, и найти его потенциал.

    2. Даны поле и цилиндр D, ограниченный поверхностями z=0, z=m, x²+y²=(n+1)². Найти:

а) поток поля через боковую поверхность цилиндра в направлении внешней нормали;

б) поток поля через всю поверхность цилиндра в направлении внешней нормали непосредственно и с помощью теоремы Остроградского – Гаусса.

3. Даны поле и замкнутый виток , (обход контура происходит в направлении, соответствующем возрастанию параметра φ). Найти циркуляцию поля вдоль контура γ непосредственно и с помощью теоремы Стокса.

8. Дифференциальные уравнения

15. Уравнения первого порядка.

    1. Найти общее решение уравнения:

а) ; б) ; в) .

2. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла миллионов рублей.

1. Линейные уравнения высших порядков.

   1. Решить задачу Коши:

а)

б) .

17. Системы линейных уравнений.

    1. Решить систему линейных уравнений

с начальными условиями .

9. Ряды

18. Числовые ряды.

    1. Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2. Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

а) ; б) .

19. Степенные ряды.

    1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б) .

2. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х₀:

а) ; б) .

3. С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:

а) ; б) .

20. Ряды Фурье.

    1. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:

а)

в интервале ;

б) в интервале .

в) в интервале .