5. Система относительных единиц

Уравнения машины (4.1) и (4.2) часто записывают в относительных единицах. Переход к ним:

1. упрощает запись уравнений, освобождая их от некоторых постоянных коэффициентов;

2. облегчает вычисления, так как переменные выражаются удобными числами (долями единиц);

3. позволяют сравнивать между собой различные модификации и типы машин.

Существует несколько систем относительных единиц. Мы воспользуемся т.н. взаимной системой относительных единиц.

В ней в качестве базисных единиц принимаются:

1. Для угловой частоты: _б = _с = 2f, при этом базисная угловая скорость ротора

,

где р – число пар полюсов машины.

2. Базисный ток – амплитуда номинального фазного тока статора, кА:

.

3. Базисное напряжение – амплитуда номинального фазного напряжения статора, кВ:

.

Остальные базисные величины для статорных переменных определяются следующими соотношениями:

4. Базисное сопротивление статора, Ом:

.

5. Базисная мощность – номинальная мощность машины (статора), МВА

,

где U_{ном ф} и І_{ном ф} – действующие значения номинальных фазных напряжения и тока статора.

6. Базисная индуктивность статора, Генри:

.

7. Базисное потокосцепление статора, Вебер:

.

8. Базисный момент, нм

.

9. Иногда время тоже выражают в относительных единицах. Базисное время

.

При указанных базисных единицах и синхронной угловой частоте в сети, то есть когда  = _с = const имеем

,

,

,

то есть индуктивное сопротивление численно равно индуктивности, а потокосцепление численно равно ЭДС или падению напряжения.

Во взаимной системе относительных единиц базисные величины для роторных контуров подчиняются приведенным выше соотношениям, а базисная мощность принимается одинаковой как для статора, так и для каждого из роторных контуров.

Ранее мы получили выражения для синхронной ЭДС по поперечной оси Е_q. Это ЭДС холостого хода, но при отсутствии насыщения.

С одной стороны:

с другой:

,

где - относительное значение тока возбуждения, приведенного к статору, во взаимной системе относительных единиц.

Отсюда имеем

,

.

10. Базисный ток обмотки возбуждения .

11. Базисное напряжение обмотки возбуждения .

12. Базисное сопротивление обмотки возбуждения ,

тогда .

Однако, относительное сопротивление обмотки возбуждения удобнее определять по постоянной времени T_f0 обмотки возбуждения при всех разомкнутых контурах, с которыми она имеет магнитную связь:

Для демпферных контуров надо также находить свой базисный ток, который будет отличаться от базисного тока возбуждения, поскольку для них будет другое число витков и другой обмоточный коэффициент. Поэтому для демпферных контуров относительное сопротивление удобно определять по постоянным времени, которые находятся экспериментально или оцениваются по конструктивным размерам машины.

Запишем уравнения (1) и (2) Парка-Горева во взаимной системе относительных единиц, но выражая время и инерционную постоянную Т_j в секундах. Покажем ход преобразований первых пяти уравнений системы (1) на примере первого уравнения этой системы. Разделим левую и правую часть этого уравнения на с учётом того, что

или

.

Введём в это уравнение скольжение ротора машины относительно синхронной оси, вращающейся с постоянной угловой частотой _с

.

Отсюда

,

.

Введём это выражение в преобразуемое уравнение. Тогда, если не водить специальных обозначений для переменных в относительных единицах, получим для данного и других пяти уравнений

,

,

,

, (5.1)

,

.

Если синхронный генератор работает параллельно с системой неограниченной мощности, характеризуемой вектором напряжения , то

,

,

здесь напряжение выражено в принятой системе относительных единиц,

 - угол между поперечной осью машины q и вектором напряжения , выраженный в радианах,

_d и _q включают в себя потокосцепления внешней сети до узловой точки или шин приёмной системы.

В расчётах удобно, пользуясь для выражения величин взаимной системой относительных единиц, напряжение возбуждения все же приводить в долях возбуждения холостого ходя, поскольку

,

а и поэтому его легко определить из векторной диаграммы установившегося режима.

Установим связь между и

.

Полученное выражение для подставляется в четвёртое уравнение системы (5):

. (5.2)

Для записи уравнения движения ротора в относительных единицах разделим обе его части на базисный момент

и учтём, что

,

тогда получим

,

и с учётом того, что , где S – скольжение, получаем

, (5.3)

, с. (5.4)

Здесь: Т _j – механическая постоянная инерции ротора генератора и турбины или двигателя и приводимого во вращение механизма, J ― момент инерции ротора в т.м², S_ном ― в кВА, ω_с=314,159 1/с, р ― число пар полюсов.

В системе уравнений (5.1) - (5.4) все величины заданы в относительных единицах и , следовательно, безразмерные, кроме времени и инерционной постоянной T_J. Время и инерционная постоянная выражаются в секундах.

Угол  между синхронно вращающейся осью, совпадающей по направлению с вектором напряжения , и осью q ротора при интегрировании скольжения получается в радианах

.

Механическая постоянная инерции ротора может быть рассчитана также через маховый момент GD² = 4J и синхронную частоту вращения n_н (об/мин).

С учётом того, что

,

,

получаем

. (5.5)

Учитывая, что в относительных единицах индуктивности и индуктивные сопротивления равны, находим

,

,

, (5.6)

,

,

где x_d, x_q – синхронные индуктивные сопротивления обмоток статора по продольной и поперечной осям;

x_ad, x_aq – индуктивные сопротивления взаимоиндукции (реакции статора) по продольной и поперечной осям;

x_f, x_1d, x_1q – индуктивные сопротивления обмотки возбуждения, продольной и поперечной демпферных обмоток. Все сопротивления в (8) выражены в относительных единицах при номинальных условиях машины, все величины роторных контуров приведены к статору.

Если учесть, что потокосцепления воздушного зазора равны

,

, (5.7)

то можно записать

,

, (5.8)

,

,

.

По первому закону Кирхгофа имеем

,

,

,

получим

,

где . (5.9)

Аналогично

, (5.10)

где

Выражения (11), (12) используются для расчёта и , а выражения (10) – для вычисления токов i_d, i_q, i_f, i_1d, i_1q.

Для СД с массивным ротором или с массивными полюсами учитывается вытеснение тока в роторе и насыщение по путям рассеяния введением зависимостей приведенных активного сопротивления и сопротивления рассеяния эквивалентного демпферных контуров по продольной и поперечной осям от скольжения.

Методика расчёта активных и реактивных сопротивлений, входящих в уравнения Парка-Горева, приведена в методических указаниях к лабораторным работам.