4. Уравнения Парка-Горева синхронной машины

Уравнение электрического равновесия цепи статора, записанное через изображающие векторы напряжений, токов и потокосцеплений в неподвижной системе координат, имеет вид

где ;

_с – угловая частота напряжения, которая при работе синхронного генератора параллельно с системой неограниченной мощности равна синхронной.

Это же уравнение в системе координат, вращающейся со скоростью ротора _r, получим, используя выражение для перехода изображающего вектора во вращающейся системы координат к неподвижной, которое, например, для тока имеет вид

где - изображающий вектор тока статора в неподвижной системе координат;

- изображающий вектор тока статора во вращающейся системе координат;

- угол между магнитной осью фазы А и осью d ротора.

Получаем

,

т.к. .

В результате, в системе d, q, 0, вращающейся со скоростью ротора _r, уравнение равновесия цепи статора, записанное через изображающие векторы, имеет вид

.

Уравнения равновесия напряжений ротора

,

,

при этом остаются неизменными, так как входящие в него величины с самого начала определялись именно в системе координат ротора.

Выразим изображающие векторы через их составляющие по осям вращающейся комплексной плоскости, помня, что действительная ось комплексной плоскости направлена вдоль оси d, а мнимая ― вдоль отрицательного направления оси q. В результате получаем :

,

,

,

Подставив эти выражения в выражение для , получим:

.

Приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

,

,

,

, (4.1)

,

.

Эта система уравнений должна быть дополнена ещё уравнением движения или механического равновесия моментов на валу

,

.

Здесь М_внешн. – вращающийся момент турбины для генератора М_т или момент механизма М_мех для двигателя;

_r – угловая скорость ротора;

- электромагнитный момент;

J – момент инерции вращающихся масс ротора, выраженный в кгм²

Преобразование переменных статора в системе координат А, В, С в новые переменные, связанные с системой координат d, q, 0 являясь формально математическим приёмом, имеет простое физическое объяснение.

При преобразовании переменных трёхфазная обмотка статора заменяется эквивалентной двухфазной, жёстко связанной с осями d и q ротора (вращается с той же скоростью, что и ротор со скоростью _r ротора).

Дифференциальные уравнения равновесия дополним алгебраическими, связывающими потокосцепления и токи соответствующих контуров.

Принимаем допущения:

1. в продольной и поперечной осях машины, кроме потоков рассеяния существуют потоки в воздушном зазоре, пронизывающие все контуры, расположенные по соответствующим осям машины;

2. все параметры роторных контуров приведены к статору ( как – уточним позднее)

Тогда выражения для потокосцеплений статорных и роторных контуров, входящих в систему (2), имеют вид

,

,

, (4.2)

,

,

.

Так как преобразованные обмотки статора d и q неподвижны относительно ротора, то индуктивности и взаимные индуктивности этих обмоток, входящие в выражения (2), постоянны, если не учитывать изменения насыщения магнитной цепи. Таким образом, преобразование переменных (переход от системы координат А, В, С к осям d и q) позволяет избавиться от периодических коэффициентов в дифференциальных уравнениях (1) синхронной машины.

Уравнения (1) и (2) выражают основу теории обобщённой электрической машины.

При постоянной частоте вращения ротора (_r = const) с учётом принятых допущений система уравнений (1) и (2) становится системой линейных дифференциальных уравнений, допускающей аналитическое решение, то есть можно получить аналитическое выражение для изменения тока статора во времени при коротком замыкании.

В системе (1) первые слагаемые первых двух уравнений для обмоток d и q статора представляют ЭДС трансформации, поскольку они вызываются изменением величин соответствующих потокосцеплений, а вторые слагаемые – ЭДС вращения. В установившемся режиме ЭДС трансформации отсутствуют.

В рассмотренной выше модели синхронной машины, соответствующей уравнениям Парка-Горева, ЭДС вращения представлены лишь частично, так как при синхронном вращении обмоток и магнитных потоков никаких ЭДС вращения в этих обмотках нет. Только при перемещении обмоток относительно вращающихся магнитных потоков, что в общем случае также имеет место при переходном процессе, в обмотках наводятся дополнительные ЭДС вращения (точнее ЭДС скольжения ― в обмотке d и в обмотке q, где _r  _с), поток при работе СМ параллельно с системой неограниченной мощности всегда вращается с синхронной скоростью.