Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Одесский национальный политехнический университет

Тексты лекций

Тема: «Уравнения синхронных и асинхронных машин для математического моделирования электромеханических переходных процессов в системах электроснабжения»

Невольниченко В.Н.

Одесса 2012

УРАВНЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЕ

Математические модели для расчета переходных процессов в системах электроснабжения

Математическое описание ПП в сложных ЕЕС складывается на основе уравнений для каждого ее элемента. В общем случае основными элементами ЕЕС являются: СМ, трансформаторы, линии электропередач и потребители электрической энергии, основные из которых - АД.

Полная модель ЕЕС должна учитывать как электромагнитные так и электромеханические ПП, потому СМ и АД необходимо моделировать с использованием их "полных" систем дифференциальных уравнений. При этом уравнения АД записываются в неподвижной системе координат , , 0 , а уравнение СМ - в системе координат, вращающейся со скоростью ротора, d, q, 0. Для преобразования параметров из одной системы координат в другую используются выражения, которые приведены в [1].

Уравнения элементов электрической сети записываются в дифференциальной форме и неподвижной системе координат , , 0. Их преобразование позволяет получить аналитические выражения, при использовании которых удается избежать численного дифференцирования при решении таких уравнений.

При рассматривании автономных СЭП, в которых отсутствие условия постоянства частоты приводит к появлению новых переменных, система уравнений для всей ЕЕС дополняется уравнениями первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме.

1 Исходные уравнения для анализа переходных процессов в синхронных машинах

Основными уравнениями для анализа переходных процессов в синхронной машине являются следующие дифференциальные уравнения в неподвижных координатах А, В, С

(1.1)

где - результирующие потокосцеплення соответственно фаз статора, обмотки возбуждения, продольного и поперечного демпферных контуров;

- мгновенные значения токов соответственно фаз статора, обмотки возбуждения, продольного и поперечного демпферных контуров;

- активные сопротивления соответственно фаз статора, обмотки возбуждения, продольного и поперечного демпферных контуров;

- мгновенные значения напряжения фаз статора синхронной машины;

- напряжение цепи возбуждения;

J -момент инерции вращающихся масс ротора;

Мел - электромагнитный момент (тормозной для генератора и вращающий для двигателя);

Мвн - внешний момент (вращающий момент турбины для генератора или тормозной момент механизма для двигателя);

_(r - угловая скорость ротора_;

γ - угол между магнитной осью фазы А и поперечной осью q ротора.

Уравнение движения записано при условиях, что положительные знаки всех моментов приняты для случая, когда они действуют в сторону ускорения ротора в положительном направлении.

Потокосцеплення, которые входят в (1.1), представляют собой линейные зависимости от тока данного контура и токов магнитносвязанних с ним других контуров. Коэффициентами пропорциональности при этом будут индуктивность L контура, который рассматривается, и его взаимоиндуктивности М с другими контурами. Введя для L и М индексы соответствующих обмоток, можно записать:

(1.2)

При вращении ротора только индуктивности L_f, L_1d, L_1q, M_f1d можно считать неизменными, все же другие L и M зависят от положения ротора относительно обмоток статора и, соответственно, являются функциями времени.

Положение ротора в пространстве фиксируется углом между магнитной осью фазы А и поперечной осью q ротора, или γ'= π/2 + γ между магнитной осью фазы А и продольной осью d ротора.

Синусоидальность электродвижущей силы (ЕДС) холостого хода, которая наводится в статоре, уже указывает на закон изменения взаимных индуктивностей M_Af = M_fА между обмоткой возбуждения и каждой фазой статора. Очевидно, что он выражается синусоидальной функцией с периодом 2, максимум которой наступит при совпадании магнитных осей этих обмоток ( :

(1.3)

Изменение индуктивностей фазных обмоток и взаимных индуктивностей между этими обмотками обусловлено вращением явнополюсного ротора, поскольку при этом непрерывно изменяется магнитное сопротивление потокам, которые определяют данные индуктивности.

Изменение магнитных потоков происходит с периодом , то есть в 2 раза меньшим, так как при повороте ротора на угол  повторяется предыдущий угол изменения магнитного сопротивления. Например, индуктивность фазы А

(1.4)

где l₀ и l₂ - неизменная составляющая и амплитуда второй гармоники этой индуктивности.

Дальше при записи уравнений Парка - Горева будут введенные индуктивности L_d, L_q, L₀. Тогда

(1.5)

(1.6)

Система дифференциальных и алгебраических уравнений (1.1) - (1.2) является нелинейной из-за того, что имеет периодически изменяющиеся коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции и потому не имеет аналитического решения. Принимаются меры для того, чтобы избавиться от этих переменных коэффициентов. Для этого исходные уравнения преобразуют, принимая для статора и ротора единую систему координат :

1. Жестко связанную с ротором (d, q, 0), то есть такую, которая вращается с одинаковой с ним скоростью _r. Для преобразования уравнения фаз статора А, В, С записывают в системе координат d, q, 0, вращающейся со скоростью ротора. Уравнения для контуров ротора при этом не изменяются.

2) Жестко связанную со статором - , , 0 (неподвижную). Уравнения для контуров ротора записывают в неподвижной двуосной системе координат. Уравнения фаз статора тоже преобразуются, поскольку их также записывают в системе координат  ,  , 0 . Такая система координат используется для анализа переходных процессов в асинхронных машинах.

3)Систему координат, которая вращается с синхронной скоростью _с . Такая система координат иногда используется для анализа переходных процессов в многомашинных системах электроснабжения.