Контрольные вопросы

1. Определить координатные линии полярной системы координат .

2. Определить локальный базис и метрический тензор полярной системы координат.

3. Записать тензорный закон преобразования координат для тензоров валентности 3,4.

Задачи

1. а) В какой области пространства определены цилиндрические координаты; б) Найти координатные поверхности и координатные линии; в) Найти локальный базис и метрический тензор.

2. Решить задачу 1 для сферических координат.

3. Найти ковариантные координаты вектора в цилиндрических и сферических координатах.

4. В точке дан тензор . Найти его координаты в цилиндрической системе координат.

Тензорные поля на

Отображение называется векторным полем. Векторное поле на записывается в виде:

,

где – гладкие функции.

Векторное поле – линейный дифференциальный оператор на алгебре

дифференцируемых на функций.

.

Скобка Пуассона

– векторное поле.

Пример. Определить , где .

,

,

,

.

Определение 2. Если в каждой точке задан тензор типа , то говорят, что задано тензорное поле.

.

Внешние дифференциальные формы

Кососимметричное ковариантное тензорное поле называют внешней дифференциальной формой

Внешний дифференциал -формы имеет вид

Пример. .

.

Свойства: 1.

2. ;

3.

Контрольные вопросы

1. Определить

2. Определить .

3. Определить

4. Записать поля тензоров валентности

5. Определить

,

6. Определить

7. Определить , где

а)

б)

в) .

Задачи

1. Определить , где

а)

б)

в)

2. Дано , определить :

а)

б)

3. Дано , определить

а)

б) .

4. Дано Определить

5. Определить :

а) где – линейные формы;

б) где – линейная, – 2 – форма.

6. Дано , , , где , , – линейные формы. Определить .

7. Расписать

а) , ;

б) , , .

КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ

1. Векторное поле ,

где .

Символы Кристоффеля:

, ,

,

,

.

– абсолютный дифференциал векторного поля , .

,

– -тая ковариантная производная поля , .

,

– ковариантная производная поля вдоль поля .

Замечание. Если криволинейные координаты аффинные, т.е. , , , то .

Свойства ковариантного дифференцирования:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

где – дифференцируемая на функция; .

2. Поле .

, .

Полагаем .

Ковариантная производная определяется из равенства

,

откуда .

Для , . .

3. Абсолютный дифференциал и ковариантная производная :

.

.

4. Лемма Риччи:

, .

5. – параллельно переносится вдоль кривой , если вдоль нее , т.е.

, .

6. Связь внешнего дифференциала и ковариантной производной , .

Пример.

.

Контрольные вопросы

1. Записать , , , .

2. Определить в полярной системе координат.

3. Определить в полярной системе координат.

4. Доказать .

5. Определить , .

6. Определить , .

Задачи

1. Определить , в цилиндрической и сферической системе координат.

2. Доказать равенства:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

3. Доказать, что если – длина вектора , то .

4. Доказать .

5. Доказать равенства:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

6. Доказать, что если – длина вектора , то .

7. Зная, что – симметричный тензор, убедиться, что – тензор и найти его значения при .

8. Зная, что – кососимметричный тензор, доказать, что – тензор.