Контрольные вопросы

1. Определить .

2. Определить , если .

3. Определить координаты .

4. Определить координаты , если .

5. Записать координаты дискриминантного тензора .

6. . Определить .

7. Определить размерность , где .

8. Расписать .

9. Расписать .

10. Определить , где , .

11. Доказать, что – тензор.

12. – симметричный тензор. Записать координаты, равные .

13. Записать через дискриминантный тензор .

14. Записать смешанное произведение ,где через дискриминантный тензор .

Задачи

1. Доказать, что дважды ковариантный тензор можно представить в виде суммы симметричного и кососимметричного тензора.

2. Сколько различных координат содержит симметричный тензор в ?

3. Сколько отличных от нуля координат имеет кососимметричный тензор в ?

4. Доказать, что если – кососимметричен, то .

5. Разложить тензор на симметричный и кососимметричный .

6. Записать, чему равны выражения: , ?

7. Доказать, что в пространстве любая кососомметричная трилинейная форма только скалярным множителем отличается от скалярного произведения .

8. Доказать, что если тензор симметричен по двум верхним индексам и кососимметричен по двум нижним индексам, то в результате двойного свертывания по этим парам индексов получается нуль.

9. Найти .

10. Чему равно , если – симметричный тензор?

11. Доказать, что если тензор симметричен по первым двум индексам и для любого имеет место равенство , то .

12. Доказать, что если кососимметричен по первым двум индексам, то .

13. Проверить справедливость тождества

.

14. Доказать, что если в кососимметричный тензор, то он отличается от дискриминантного тензора только инвариантом.

15. Определить , где .

16. Доказать , , , .

17. Определить , где .

18. Доказать, что если – симметричный тензор, то , если – антисимметричный, то .

Внешние формы

Определение 1. Внешним произведением базисной формы на называется 2 – форма .

Свойства: .

Аналогично .

Определение 2. Антисимметричный ковариантный тензор валентности называется внешней -формой.

– векторное пространство внешних -форм.

– базис . Если , то имеет место разложение

, или , где и суммирование идет по всем индексам.

Определение 3. Внешним произведением внешней формы на внешнюю форму называется внешняя форма .

Свойства внешнего умножения:

1)

2)

3)

4) .

Числовое значение внешней формы на векторах удовлетворяет равенствам:

1)

2)

3)

4) где ;

5)

6)

Примеры:

1.

.

2. ,

3. .

4.

5.

Контрольные вопросы

1. Расписать

2. Определить , где .

3. Определить , где .

4. Определить

5. Определить

6. . Определить .

7. Доказать равенство , где

Задачи

1. Доказать равенство .

2. Доказать

3. Выделить внешнюю форму Придумать пример внешней 3 – формы.

4. Доказать, что внешняя форма и записать разложение по базису.

5. Доказать где .

6. Доказать, что внешнее произведение любой степени меняет знак при перестановке линейных множителей.

7. Доказать, что на все внешние произведения степени выше равны нулю.

8. Доказать, что если внешнее произведение двух линейных форм равно нулю, то они пропорциональны.

9. Доказать лемму Картана. Пусть причем – линейно независимы и Тогда

10. Определить значение формы на векторах где

11. Проверить линейную зависимость форм