Тензоры в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах

Определение 1. Векторное пространство называется евклидовым, если задана билинейная форма удовлетворяющая условиям

1)

2)

– метрический тензор.

– скалярное произведение.

– длина .

– косинус угла между векторами

Определение 2. Говорят, что билинейная форма имеет индекс , если в нормальном виде она имеет минусов.

Определение 3. Векторное пространство , в котором скалярное произведение определено с помощью невырожденной симметричной билинейной формы индекса , называется псевдоевклидовым пространством индекса .

Обозначается: .

В ортобазисе в

Вектор , для которого , называется изотропным.

– изотропный конус.

Операция поднятия индекса:

Операция опускания индекса:

Контрольные вопросы

1. Определить , где

2. Расписать , где .

3. Расписать , где

4. Поднять индекс у тензора , где .

5. Опустить индекс у тензора , где .

6. Опустить индекс у тензора

7. Поднять индекс у тензоров

8. Определить в , где .

9. Придумать в векторы длины .

Задачи

1. За базис пространства пусть выбраны векторы

а) вычислить компоненты обоих метрических тензоров

б) найти ковариантные компоненты вектора

в) получить формулу для вычисления длины произвольного вектора через его координаты.

2. Решить задачу 1 при условии, что за базис приняты векторы

.

3. Точки с координатами называются базисными. Доказать, что расстояние до базисных точек до начала координат определяется равенствами .

4. Доказать, что косинусы углов между координатными осями определяются уравнениями

.

3. Доказать, что если через обозначим углы, которые орт образует с координатными осями, то

.

3. Доказать, что в косоугольной декартовой системе координат определяется следующим образом

3. Доказать, что если – направляющие орта , то в косоугольных декартовых координатах (векторы нормированы) они удовлетворяют условию

4. Доказать, что .

5. Определить , где , .

Криволинейные координаты

– евклидово пространство, – декартовы координаты точек , – радиус – вектор ,

, .

Обратимые непрерывно, дифференцируемые функции

называются криволинейными координатами .

,

координатные поверхности:

( – фикс.);

координатные линии:

Локальный базис

образован касательными векторами к координатным линиям .

Пример 1. Цилиндрическая система координат .

,

,

.

Координатные поверхности: – круговые цилиндры,

– полуплоскости, ограниченные осью ,

– плоскости, параллельные плоскости .

Координатные линии: – линии – лучи, выходящие из произвольной точки оси и параллельные плоскости ; – линии – окружности с центром на , расположенные в плоскостях параллельных плоскости , – линии – прямые, параллельные оси .

2. Локальный базис.

.

Преобразование векторов локального базиса

,

где – формулы преобразования криволинейных координат,

.

– векторное пространство всех векторов, приложенных в точке (касательных векторов всех кривых, проходящих через точку ), то есть элементом является пара , где – вектор .

.

Взяв за , можно построить всю тензорную алгебру, где

.

Закон преобразования координат: