3. Формулы алгебры высказываний….

Основные виды формул алгебры высказываний. Законы формул алгебры высказываний.

Определение. Формула алгебры высказываний F(x_i) называется выполнимой (опровержимой), если она хотя бы один раз принимает значение истины (лжи) при каком-либо наборе значений переменных х_i, входящих в нее.

Определение. Формула алгебры высказываний F(x_i) называется тождественно истинной или тавтологией, если при любых наборах значений переменных x_i, входящих в нее, она принимает значение истины. Обозначается ТИ или FИ.

Определение. Формула алгебры высказываний F(x_i) называется тождественно ложной или противоречием, если при любых наборах значений переменных (x_i), входящих в нее, она принимает значение лжи. Обозначается ТЛ или FЛ.

Чтобы установить вид формулы алгебры высказываний, достаточно составить для нее соответствующую таблицу истинности и по последнему столбцу определить вид данной формулы.

Среди тождественно-истинных формул алгебры высказываний важную роль в математической логике и ее приложениях играют так называемые законы алгебры высказываний. Рассмотрим основные из них.

1. Закон исключения третьего. х , то есть для любого высказывания имеет место одно из двух, либо оно истинно, либо ложно, третье места не имеет.

2. Закон отрицания противоречия. , то есть неверно, что одновременно имеет место некоторое высказывание и его отрицание.

3. Закон двойного отрицания. , то есть отрицать отрицание некоторого высказывания это все равно, что утверждать это высказывание.

4. Закон тождества , то есть всякое высказывание есть логическое следствие самого себя.

5. Закон контрапозиции , то есть импликация двух высказываний эквивалентна обратной импликации их отрицаний. Данный закон позволяет устанавливать равносильность различных видов теорем.

6. Закон силлогизма .

Данный закон является правилом вывода, лежащим в основе большинства методов доказательств предложений.

7. Закон приведения к абсурду .

Данный закон является правилом вывода, лежащим в основе доказательства предложений методом от противного.

Чтобы доказать, что каждый из этих законов является тождественно истиной формулой достаточно составить для нее сответствующую таблицу истинности, а в простых случаях воспользоваться определением соответствующей логической операции.

Равносильность формул алгебры высказываний и ее свойства.

Определение. Формулы алгебры высказываний F(x₁, x₂, ... , x_n) и Н(x₁, x₂, ... , x_n) называются равносильными, если при всех наборах значений переменных, входящих в них, они принимают одинаковые значения истинности.

Равносильность обозначается так: F Н. Заметим, что равносильные формулы могут отличаться не только числом переменных, но и содержать различные переменные.

Теорема (признак равносильности формул)

Формулы F и Н равносильны тогда и только тогда, когда формула F  Н является тождественно истинной.

Следствие. Понятие равносильности формул алгебры высказываний есть отношение эквивалентности общематематическое, то есть оно:

1) рефлексивно

2) симметрично

3) транзитивно и

Основные равносильности формул алгебры высказываний.

Основные равносильности формул алгебры высказываний позволяют сложные формулы преобразовывать в более простые формулы алгебры высказываний.

1. закон двойного отрицания

2. коммутативность конъюнкции

3. ассоциативность конъюнкции

4. коммутативность дизъюнкции

5. ассоциативность дизъюнкции

6. 1-й дистрибутивный закон

7. 2-й дистрибутивный закон

8. 1-й закон де Моргана

9. 2-й закон де Моргана

10. 1-й простой закон поглощения

11. 2-й простой закон поглощения

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. 1-й сложный закон поглощения

19. 2-й сложный закон поглощения

20.

21. закон контрапозиции

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29. Правило отрицания - обобщение законов де Моргана.

Чтобы найти отрицание формулы, включающей в себя не более трех первых логических операций, надо конъюнкцию заменить на дизъюнкцию и наоборот, переменную, стоящую в формуле без знака отрицания заменить на эту же переменную со знаком отрицания и наоборот, например,

.