2. Высказывания. Операции над высказываниями….

Под высказыванием будем понимать повествовательное предложение, о котором можно судить, истинно оно или ложно. Например, " " – истинное высказывание, "Земля – планета Солнечной системы" – истинное высказывание, "Существует такое число , что " – ложное высказывание. Предложения: "Который час?", "Сегодня хорошая погода", " " – высказываниями не являются.

Будем обозначать высказывания буквами латинского алфавита а, b, с… Если высказывание a истинно, будем писать , если же а ложно, будем писать .

Различают высказывания простые и сложные: высказывание считается простым, если никакая его часть не является высказыванием. Сложное высказывание образуется из простых при помощи логических операций. Этим операциям соответствуют в обычной речи такие выражения, как: "и", "или", "если…, то…", "не" и др. Например, высказывание "Рим – столица Франции" – простое, а высказывание "Неверно, что Рим – столица Франции" – сложное.

Обсудим логические операции более подробно.

1. Отрицанием высказывания а называется высказывание, обозначаемое , которое истинно тогда и только тогда, когда a ложно. В обычном языке операции отрицания соответствует частица "не". Например, если a – высказывание "5 делится на 2", то - высказывание "5 не делится на 2" или "неверно, что 5 делится на 2". Действие операции отрицания можно представить в виде следующей таблицы истинности:

а
0	1
1	0

2. Конъюнкцией (логическим умножением) высказываний а и b называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда a и b оба истинны, что обозначается в нашем курсе (в литературе используются также обозначения и ab). Операции конъюнкции в обыденном языке соответствует союз "и": например, если a – высказывание "10 делится на 2", а b – высказывание "10 делится на 3", то - высказывание "10 делится на 2 и на 3" или "10 делится на 6". Определим действие операции конъюнкции в виде следующей таблицы истинности:

a	b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Третья операция, которая употребляется в логике высказываний, соответствует союзу "или". Отметим то обстоятельство, что союз "или" имеет в русском языке два значения: исключающее и неисключающее "или". Так, высказывание: «Я сегодня вечером буду решать задачи по математической логике или пойду в кино», – подразумевает, что выбирается ровно один из двух вариантов ответа – но никак не оба. Это пример использования исключающего "или": здесь подразумевается, что одно отменяет другое: либо решаю задачи, либо иду в кино. Напротив, высказывание «Чтобы сдать экзамен нужно быть готовым ответить на любой вопрос или вытянуть удачный билет» подразумевает, что не исключается возможность сдать экзамен и в слачае, когда выучен весь материал и вытянут удачный билет. Это пример использования неисключающего "или": здесь подразумевается, что верно хотя бы одно из двух (то есть возможно, что оба). Вводимой ниже логической операции соответствует союз "или" в неисключающем смысле. Итак,

a	b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

3. Дизъюнкцией высказываний а и b называется высказывание, обозначаемое , которое ложно тогда и только тогда, когда a и b оба ложны. Например, если a – высказывание «"Амкар" выиграл у "Барселоны"», а b – высказывание «"Барселона" выиграла у "Амкара"» то - высказывание «"Амкар" выиграл у "Барселоны" или "Барселона" выиграла у "Амкара"» то есть: «Матч между "Амкаром" и "Барселоной" не закончился вничью». Действие операции дизъюнкции можно представить в виде следующей таблицы истинности:

a	b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4. Импликацией высказываний а и b называется высказывание, обозначаемое , которое ложно тогда и только тогда, когда a истинно, а b ложно. Таким образом, таблица истинности для операции импликации имеет вид:

a	b
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

5. Эквивалентностью высказываний а и b называется высказывание, обозначаемое в нашем курсе (в литературе иногда ), которое истинно тогда и только тогда, когда a и b либо оба истинны, либо оба ложны. Таким образом, таблица истинности для операции эквивалентности имеет вид:

а	b
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операции эквивалентности соответствуют выражения "… тогда и только тогда, когда …", "чтобы …, необходимо и достаточно, чтобы …", "… в том и только в том случае, когда …". Например, если a – высказывание "10 делится на 2", b – высказывание "10 делится на 3", а c – высказывание "15 делится на 2", то высказывания и ложны, а высказывание истинно.