5. Приращение аргумента и приращение функции

Если аргумент функции y = f ( x ) изменяется от значения х до нового значения х _н , то разность этих значений х _н - х называют приращением аргумента и обозначают символом  ∆ х (читается: «дельта   икс»).   Следовательно,  ∆ х=х _н - х,  откуда  х _н = x + ∆ х.

 Сама функция y = f ( x ) при таком изменении аргумента при­нимает новое значение y _н = f ( x + ∆ х), т.е. получим приращение функции ∆ y = f ( x + ∆ х) — f ( x ).

Геометрически приращение аргумента изображается прира­щением абсциссы точки кривой, а приращение функции — прира­щением ординаты этой точки (рис.90).

 

 

6. Понятие о непрерывности функции

Наглядное представление о непрерывной функции состоит в том, что график такой функции можно начертить одним непре­рывным движением, не отрывая карандаша от бумаги. В против­ном случае имеет место графическое изображение разрывной функции. На рис. 91 изображена некоторая непрерывная функ­ция, на рис. 92 и 93 — разрывные функции.

       

Непрерывное изменение переменной величины легко предста­вить себе интуитивно. В самом деле, когда мы говорим: «Тем­пература воды при нагревании изменяется непрерывно» — мы имеем в виду, что за достаточно малый промежуток времени тем­пература воды изменится достаточно мало, т. е. если температуру воды рассматривать как функцию времени, то в изменении этой функции наблюдается постепенность.

Примерами непрерывных функций могут служить также раз­личные законы движения тел s = f ( t ),выражающие зависимость пройденного пути s от времени t . Одной из особенностей этой зависимости является то, что малому приращению времени соот­ветствует малое приращение пути, т.е. график функции s = f ( t ) изображается непрерывной линией.

Определение . Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х=х _о , если:

1)  эта функция определена в точке х=х _о (т. е. определенному значению аргумента х, равному x ₀ , соответствует вполне определенное значение функции у, равное у _о ) ;

2)  приращение функции в точке х ₀ стремится к нулю  при ∆ х→ 0, т. е.

Кратко свойство непрерывности функции можно выразить так: функция называется непрерывной в данной точке, если ∆ у →0 при ∆ x →0.

Из рис. 90 видно, что если точка M ₁ приближается по кривой y = f ( x ) к точке М, то ∆ х и ∆ у как угодно уменьшаются, т. е. стре­мятся к нулю, и данная функция в точке М является непре­рывной.

Итак, геометрически непрерывность функции y = f ( x ) озна­чает, что ординаты двух точек графика сколь угодно мало отли­чаются друг от друга, если достаточно мало отличаются их абс­циссы. Поэтому график непрерывной функции представляет со­бой сплошную линию без разрывов.

Часто пользуются другим, равносильным приведенному, опре­делением непрерывности функции в точке.

Определение . Функция f ( x ) называется непрерывной в данной точке х ₀ , если ее предел в точке х ₀существует и   равен   значению   функции   в   этой   точке,   т. е.   если   

Примером функции, непрерывной в любой точке х ₀ , может служить постоянная f ( x ) = C . В самом деле, в этом случае   = C и f ( x _o ) = C .

Отметим следующие свойства непрерывных функций. Если функции f ₁ ( x ) и f ₂ ( x ) непрерывны в точке а, то:

1)      их сумма, разность, произведение являются функциями,  непрерывными в этой точке;

2)      частное f ₁ ( x ) / f ₂ ( x ) есть непрерывная функция при условии f ₂ ( x )≠0

Определение . Функция f ( x ) называется непрерывной на отрезке [а, b ], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.