Тема 1. Значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы. Основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

Для продуктивной деятельности в современном ин­формационном мире требуется достаточно прочная базо­вая математическая подготовка.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в тради­ционно далекие от нее области. Интенсивная математи­зация различных областей человеческой деятельности осо­бенно усилилась с появлением и развитием ЭВМ. Ком­пьютеризация общества, внедрение современных инфор­мационных технологий требуют математической грамот­ности человека буквально на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый мате­матикой.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количествен­ные отношения — от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей до достаточно сложных, необ­ходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современ­ней  техники , восприятие научных знаний, восприятие и интерпретации    разнообразной   социальной,   экономической информации,  малоэффективна  повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться вычислительной техникой,     находить в справочниках и использовать нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. И, наконец, все больше профессий, тре­бующих высокого уровня образования, связано с непо­средственным применением математики (экономика, биз­нес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое).

Важным для жизни в современном обществе также является формирование математического стиля мышле­ния, проявляющегося в определенных умственных навы­ках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естествен­ным образом включаются индукция и дедукция, обобще­ние и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты ма­тематических умозаключений и правила их конструирова­ния вскрывают механизм логических построений, выраба­тывают умения формулировать, обосновывать и доказы­вать суждения, тем самым развивают логическое мышле­ние. Ведущая роль принадлежит математике в формиро­вании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по  заданному  алгоритму  и  конструировать новые.

Использование в математике, наряду с естественным, нескольких математических языков дает возможность раз­вивать у учащихся чувство точности, экономности, инфор­мативности речи, формировать умение точно выразить мысль, отобрав для этого наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.

Тема 2. Область определения функции. Предел функции.

 

1. Область определения функции с одной независимой переменной

Пусть переменная х принимает числовые значения из множе­ства Е.

Определение.    Функция - это  правило,   которое  каждому числу х из Е сопоставляет одно определенное число у.

При этом х называют независимой переменной или аргументом функции, а у -зависимой переменной; множество Е - областью определения или областью задания функции. Множество значений, принимаемых переменной у, называется множеством значений или областью изменения функции.

Запись y = f ( x ) или у(х) означает, что у зависит от х. Бук­ва f символизирует правило, по которому получается значение у, соответствующее данному значению х из множества Е.

Вместо букв х, Е, у, f ( x ) используются и любые другие бук­вы и обозначения.

Задать функцию y = f ( x ) на множестве Е — это значит указать правило, по которому для каждого х из Еполучается соответ­ствующее ему значение у.

 

2. Предел переменной величины

Пусть переменная величина х в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом сле­дующие значения: 4,9; 4,99; 4,999; ... или 5,1; 5,01; 5,001; .... В этих случаях модуль разности | х - 5| стремится к нулю: |х - 5|= 0,1; 0,01; 0,001;....

Число 5 в приведенном примере называют пределом пере­менной величины х и пишут lim x = 5.

Определение   .   Постоянная   величина   а   называется пределом переменной х, если модуль разности | х – а| при изменении х становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа ԑ.

Итак, lim x = a (предел х равен а) или х→а ( х стремится к а).

Замечания.  1.  Предел  постоянной величины равен самой постоянной: lim a = a, так как | а— a |< ԑ.

2.   Переменная величина может иметь только один предел.

3.   Предел положительной переменной величины не отрицателен, пре­дел отрицательной переменной величины не положителен.

Пример . Показать, что при t → ∞ предел переменной величины    равен 3. 

Решение. Находим разность между переменной величиной х и число 3: x – 3 =   

Если  t → ∞ , то    →0. Значит, выполняется условие  | x - 3|< ԑ и, следовательно,   .

 

3. Основные свойства пределов

1. Предел алгебраической суммы конечного числа переменных величин равен алгебраической сумме пределов слагаемых:    lim ( x+y+…+t) = lim x + lim y + … + lim t  

2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов:  lim ( x ∙y ∙ … ∙ t ) = lim x ∙  lim y ∙  … ∙  lim t  

3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: lim (c x) = lim c ∙ lim x = c lim x  

4. Предел отношения двух переменных величин равен отно шению пределов, если предел знаменателя не равен нулю:      , если lim y ≠ 0 

5.   Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной:  lim x ⁿ = (lim x ) ⁿ

  6. Если   переменные   х,   у,   z    удовлетворяют   неравенствам x ≤ y ≤ z   и x → a , z → a , то y →a .

4. Предел функции в точке

Выше мы рассматривали независимые переменные величины, каждая из которых стремится к своему пределу независимо от другой.

Пусть теперь даны две переменные величины х и у, связанные функциональной зависимостью y = f ( x ).Рассмотрим вопрос о пре­деле функции при условии, что задан предел ее аргумента.

Если при х, стремящемся к а, функция f ( x ) стремится к b , то говорят, что предел функции f ( x ) в точкех=а равен b и пишут   .

Отметим, что во всем дальнейшем изложении, где говорится о пределе функции в точке а, будем предполагать, что функция определена в некоторой окрестности точки а. В самой же точке а функция может быть не определена.

Замечание.   За   окрестность   точки   а   принимается   любой   интервал, содержащий точку а.

Определение . Число b называется пределом функции f ( x ) в точке а , если для всех значений х,достаточно близ­ких к а и отличных от а , значения функции f ( x ) сколь угод­но мало отличаются от числаb .

Пример .  Найти   .

Решение. Используя последовательно свойства 1, 3 и 5 предела, получим

 

3∙2 ² - 2∙2=8