леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-3

9

Определенный интеграл

Определение. Разбиением отрезка называется набор точек этого отрезка такой, что .

Отрезки называются отрезками разбиения.

Максимум из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения.

Определение. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и набор точек .

Определение. Пусть функция определена на отрезке , а - разбиение с отмеченными точками этого отрезка. Сумма

,

где , называется интегральной суммой функции , соответствующей разбиению с отмеченными точками .

Определение. Говорят, что число является интегралом Римана от функции на отрезке , если для любого найдется такое , что для любого разбиения с отмеченными точками отрезка , параметр разбиения которого , имеет место соотношение

.

Интеграл от функции по отрезку обозначается символом , числа и называются верхним и нижним пределом интегрирования соответственно;

- подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - переменная интегрирования.

Таким образом,

.

Определение. Функция называется интегрируемой на отрезке , если для нее определен интеграл Римана.

Необходимое условие интегрируемости.

Утверждение. Если функция , определенная на отрезке , интегрируема на нем, то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Если неограниченна на , то при любом разбиении функция будет неограниченной по крайней мере на одном из отрезков . Это означает, что, выбирая соответствующим образом точку , можно сделать величину сколь угодно большой, но тогда и интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой по модулю, что означает, что конечного предела у интегральных сумм нет.

Суммы Дарбу.

Обозначим через и , соответственно, точные нижнюю и верхнюю грани функции на и составим суммы

.

Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней интегральными суммами, или суммами Дарбу. Для интегральной суммы , соответствующей произвольному набору отмеченных точек, очевидно, имеем .

Свойства сумм Дарбу.

Утверждение. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может только возрасти, а верхняя только уменьшиться.

Доказательство. Для доказательства этого факта достаточно ограничиться присоединением одной точки . Пусть она попала на й промежуток:

.

Обозначим через новую верхнюю сумму Дарбу, от прежней она отличается только слагаемыми, соответствующими промежутку . Пусть и обозначают точные верхние границы функции, соответственно, на промежутках и .

Имеем

,

откуда следует .

Аналогично доказывается соответствующее неравенство для нижних интегральных сумм.

Утверждение. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней.

Доказательство. Пусть - верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие разбиению , а , соответствующие разбиению . Объединим точки деления этих двух разбиений в третье - , и пусть - его суммы Дарбу. Имеем

.

Из доказанного утверждения следует, что множество всех нижних сумм ограничено сверху (любой верхней суммой), а множество верхних сумм ограничено снизу (любой нижней). В таком случае, существуют

,

причем . Эти числа называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу.

Условие существования интеграла.

Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что интеграл существует, то есть

, причем предел здесь берется по всем интегральным суммам, а, значит, и .

Достаточность. Пусть теперь . Тогда, перейдя в неравенствах ( и здесь строятся по одному разбиению) к пределу, получим .

Обозначим колебание функции в ом частичном промежутке через , тогда , и условие существования определенного интеграла принимает вид:

.

Классы интегрируемых функций.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Доказательство. Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора). То есть по заданному найдется такое , что из следует . Но тогда, если , то и

,

откуда следует существование интеграла.

Справедливо также следующее утверждение.

Теорема. Если ограниченная на отрезке функция имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Пример. Функция непрерывна на отрезке , а значит интегрируема на нем. Интеграл будет пределом любой последовательности интегральных сумм с . Рассмотрим последовательность разбиений на равные отрезки: и выделим точки . Тогда

при . То есть .