
леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-2
.doc
Первообразные рациональных функций
Рассмотрим интегралы вида
,
где
- отношение полиномов. Из алгебры
известно, что любую такую дробь можно
представить в виде
,
(дискриминанты знаменателей дробей второй суммы отрицательны).
Дроби вида
,
,
и
называются простейшими рациональными
дробями соответственно
и
рода.
Имеем
,
,
Рассмотрим интегралы
.
Интегрируя по частям, имеем
,
то есть
.
Пример1.
.
Пример 2.
.
,
умножим левую и правую части равенства на знаменатель левой части:
,
поскольку наши многочлены равны, то
равны их значения в точке
:
равны коэффициенты при
.
А для определения оставшихся трех коэффициентов, приравняем значения еще в трех точках:
,
,
,
,
.
Пример 3.
.
.
Первообразные вида
.
Замена переменной
сводит этот интеграл к интегралу от
рациональной функции. В самом деле,
поскольку
,
получаем
.
Пример 4.
.
Если
,
то выкладки могут упроститься, если
сделать замену переменной
(или
).
Пример 5.
.
Если
,
то можно воспользоваться заменой
,
а если
,
то заменой
.
Пример 6.
.
Первообразные вида
.
В этом случае подынтегральное выражение
рационализируется при помощи подстановки
.
Пример 7.
,
где
.
Первообразные вида
.
В этом случае подынтегральное выражение
рационализируется при помощи подстановки
.
Пример 8.
.
Первообразные вида
.
Подстановки Эйлера.
Выделяя полный квадрат в трехчлене
и делая соответствующую линейную замену
переменной, интеграл можно привести к
одному из следующих видов:
,
,
.
Для рационализации этих интегралов достаточно положить, соответственно:
(тогда
;
;
;
);
;
(тогда
;
).
Эти подстановки были предложены еще Эйлером.
Можно воспользоваться тригонометрическими или гиперболическими подстановками.
.
.
.
Пример 9.
,
где
и
.
Пример 10.
.