леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-15
.doc
Неявные функции.
Рассмотрим множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
.
Если для каждого значения
в некотором промежутке существует одно
значение
,
которое вместе с исходным значением
удовлетворяет данному уравнению, то
этим определяется однозначная функция
,
для которой равенство
имеет место тождественно относительно
.
Такая функция
называется неявной, поскольку она задана
уравнением, неразрешенным относительно
.
Займемся вопросом существования и непрерывности неявной функции.
Теорема (Юнга). Пусть в некоторой
окрестности
точки
определена и непрерывна вместе со своими
частными производными функция
,
и пусть, кроме того,
и
.
Тогда в некоторой окрестности
точки
уравнением (1) определяется однозначная
функция
такая, что:
1)
,
2)
,
3) функция
непрерывна в окрестности
,
дифференцируема в точке
,
и
.
Доказательство.
Из
непрерывности
в
и того, что
,
например, для определенности
,
следует, что
в некоторой окрестности
.
Тогда на отрезке
функция одной переменной
возрастает, и, следовательно,
.
Выберем положительное
так, чтобы
при
и
при
.
Это можно сделать, поскольку функция
непрерывна в
.
Фиксируем произвольную точку
.
На отрезке
функция
одной переменной
непрерывна и принимает на концах отрезка
значения разных знаков. По теореме Коши
о нуле непрерывной функции существует
точка
,
в которой
,
а так как функция
(как функция от переменной
)
к тому же возрастает на
,
то эта точка единственная. Таким образом,
мы определили на
однозначную функцию
такую, что
и
.
Заметим, что при наших построениях для
всех
значение
.
Так как радиус окрестности
можно взять сколь угодно малым, то мы
тем самым доказали не только существование
функции
,
но и ее непрерывность в точке
.
Наши рассуждения можно провести для
любой точки
.
Следовательно, функция
непрерывна во все окрестности
.
Перейдем к вопросу о дифференцируемости
функции
в точке
.
Сейчас мы под
будем подразумевать значения определенной
нами функции
.
Придадим переменной
приращение
.
Ему будет соответствовать приращение
переменной
.
При
приращение
.
Воспользуемся дифференцируемостью
функции
:
,
,
,
где
- бесконечно малые функции при
.
Тогда
.
Задание. Нарисуйте картинку к доказательству теоремы.
Замечание. Производная функции
,
определенной в предыдущей теореме,
непрерывна в окрестности
.
Доказательство.
В
самом деле, рассуждения, примененные в
предыдущем доказательстве к точке
подходят к любой точке
,
поэтому
будет дифференцируема во всей этой
окрестности, а производная ее будет
определяться формулой
.
Непрерывность же нашей производной
следует из непрерывности функций,
стоящих в числителе и знаменателе
последней дроби.
Аналогично предыдущей можно доказать теорему.
Теорема. Пусть функция
определена и непрерывна вместе со своими
частными производными в некоторой
окрестности точки
,
и пусть, кроме того,
и
.
Тогда в некоторой окрестности
точки
уравнением
определяется однозначная функция
такая, что:
1)
,
2)
,
3) функция
непрерывна в окрестности
и имеет непрерывные в этой окрестности
частные производные, равные
.
Сформулируем теорему об условиях разрешимости системы из двух уравнений неявно заданных функций.
Теорема. Пусть функции
определены и непрерывны вместе со всеми
своими частными производными первого
порядка в некоторой окрестности точки
.
И пусть, кроме того,
а определитель
.
Тогда в некоторой окрестности
точки
системой
(2)
определяются однозначные функции
такие, что:
1) 
,
2) 
,
3) функции
непрерывны и дифференцируемы в этой
окрестности.
Замечание. В предположениях предыдущей
теоремы производные функций
и
вычисляются по формулам:
,
где
.