леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-17

53

Пример 1. Найти точки условного экстремума в задаче

Решение. Введем функцию Лагранжа . Запишем условия стационарности для функции :

Находим две точки возможного экстремума: .

Проверим достаточные условия экстремума:

,,

откуда мы видим, что характер экстремума зависит от знака множителя . При , в точке будет максимум , а при в точке - минимум .

Пример 2. Найти точки условного экстремума в задаче

Решение. Введем функцию Лагранжа . Запишем условия стационарности для функции :

Находим точку возможного экстремума: .

Проверим достаточные условия экстремума:

В исследуемой точке получаем

то есть при наших условиях

.

Откуда видим, что в точке достигается условный минимум .

Решим последнюю задачу другим способом, а именно, выразим явно переменную через из уравнения связи и подставим в исследуемую функцию. Тогда задача сведется к отысканию экстремума функции одной переменной:

.

Схема решения которой нам давно известна:

.

Но, к сожалению, уравнение связи не всегда можно просто разрешить.

Пример 3. Найти точки условного экстремума в задаче

Решение. Введем функцию Лагранжа . Запишем условия стационарности для функции :

Система из двух первых уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, если ее определитель равен нулю:

.

Находим четыре точки возможного экстремума: .

Проверим достаточные условия экстремума:

В точке получаем

откуда видим, что при наших условиях

.

То есть в точке достигается условный минимум, который равен . Из соображений симметрии заключаем, что в точке достигается такой же условный минимум.

Аналогичным образом показываем, что в точках достигается условный максимум, равный .

Пример 4. Найти точки условного экстремума в задаче

Решение. Так как функции и достигают экстремума в одной точке, мы будем искать точки условного экстремума в задаче

Введем функцию Лагранжа . Запишем условия стационарности для функции :

Находим точку возможного экстремума:.

Проверим достаточные условия экстремума:

Видим, что в нашей точке достигается условный максимум.