22

Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода.

Определение. Пусть функция определена в промежутке и интегрируема на любом отрезке , содержащемся в этом промежутке. Величина

, (1)

если этот предел существует, называется несобственным интегралом от функции по промежутку .

Говорят, что интеграл сходится, если конечный предел существует и расходится в противном случае.

Утверждение. Если функция определена в промежутке и интегрируема на любом отрезке , содержащемся в этом промежутке, то интегралы и сходятся и расходятся одновременно.

Задача. Докажите это утверждение.

Пример 1. Выясним, при каких значениях параметра сходится интеграл .

.

Из определения несобственного интеграла видно, что сходимость интеграла равносильна существованию предела функции при .

Утверждение (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Если функцияопределена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , то интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого можно указать такое , что для любых имеет место соотношение

.

Доказательство. В самом деле,

,

поэтому сформулированное условие есть критерий Коши существования предела функции при .

Утверждение. Если функция неотрицательна, то интеграл представляет собой неубывающую функцию, и для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно ограниченности функции на .

Справедливость этого утверждения следует из определения несобственного интеграла и теоремы о пределе монотонной функции.

Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов.

Теорема (теорема сравнения). Пусть функции и определены на промежутке , и пусть для некоторого на промежутке справедливо неравенство . Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости вытекает расходимость .

Доказательство. Из условия теоремы и соответствующих неравенств для определенного интеграла Римана при любом имеем

.

Из ограниченности функции на следует ограниченность а, значит, и сходимость . Сходимость интеграла следует из предыдущего утверждения. Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть положительные функции и определены на промежутке , и пусть существует предел

.

Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из существования предела вытекает, что при некотором будет выполнено неравенство , то есть или . Далее применяем к функциям предыдущую теорему.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл .

Утверждение. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Достаточно проверить признак Коши для сходимости интеграла :

.

Определение. Если несобственный интеграл сходится, но не абсолютно, то говорят, что он сходится условно.

Задача. Доказать, что интегралы сходятся абсолютно.

Утверждение. Интегралы при сходятся условно.

Доказательство.

,

а поскольку , то интеграл сходится.

Покажем, что сходимость не абсолютная. Учитывая, что , имеем

.

Поскольку первый интеграл при расходится, а второй сходится при всех , исходный интеграл расходится.

Несобственные интегралы второго рода.

Определение. Пусть функция определена в промежутке , интегрируема на любом отрезке , содержащемся в этом промежутке и неограниченна в любой полуокрестности . Величина

, (2)

если этот предел существует, называется несобственным интегралом от функции по промежутку .

Говорят, что интеграл сходится, если конечный предел существует и расходится в противном случае.

Утверждение. Если функция определена в промежутке , интегрируема на любом отрезке , содержащемся в этом промежутке и неограниченна в любой полуокрестности , то интегралы и сходятся и расходятся одновременно.

Задача. Докажите это утверждение.

Пример 2. Выясним, при каких значениях параметра сходится интеграл .

.

Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов второго рода.

Теорема (теорема сравнения). Пусть функция определена в промежутке, интегрируема на любом отрезке , содержащемся в этом промежутке и неограниченна в любой полуокрестности .

Пусть функции и определены на промежутке , и пусть для некоторого на промежутке справедливо неравенство .

Тогда из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , а из расходимости вытекает расходимость .

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть положительные функции и определены на промежутке , и пусть существует предел

.

Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

Определение. Говорят, что несобственный интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл .

Утверждение. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.