
леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-4
.doc
Свойства определенного интеграла
Пусть функция
интегрируема на отрезке
.
Положим по определению
и
.
(Аддитивность). Пусть ограниченная
кусочно-непрерывная функция
определена в наибольшем из промежутков
,
и
.
Тогда справедливо равенство
.
Доказательство.
Предположим
сначала, что
.
Рассмотрим разбиение отрезка
на части. Не нарушая общности, можно
считать точку
одной из точек деления. Для соответствующей
интегральной суммы будем иметь
.
Переходя к пределу при
,
получим требуемое равенство.
Другие случаи взаимного расположения
точек
приводятся к разобранному. Пусть,
например,
.
Тогда, по доказанному,
,
.
После перестановки пределов интегрирования в последнем интеграле, получим нужное нам равенство.
Аналогично поступаем с другими
расположениями.
(Линейность).
Пусть функции
и
интегрируемы на отрезке
.
Тогда произвольная линейная комбинация
этих функций также будет интегрируемой
на этом отрезке, причем
.
Доказательство.
Возьмем
произвольное разбиение
отрезка
на части и составим интегральные суммы
для всех трех интегралов. При этом точки
в каждом частичном промежутке выбираем
для всех трех сумм одни и те же. Получим
.
Переходя в последнем равенстве к пределу
при
,
убеждаемся в интегрируемости линейной
комбинации и справедливости требуемого
равенства.
Теорема
(об оценке модуля интеграла). Пусть
функция
интегрируема на отрезке
,
тогда функция
также интегрируема на этом отрезке, и
имеет место неравенство
.
Доказательство.
Рассмотрим
произвольное разбиение
отрезка
.
Так как для любой пары точек
будет
,
то и колебание
функции
в этом промежутке не превосходит
(колебания функции
).
В таком случае имеем
,
а переходя к пределу в последнем
неравенстве при
,
убеждаемся в интегрируемости функции
.
Для доказательства нужного нам неравенства
для интегралов перейдем к пределу в
соответствующем неравенстве для
интегральных сумм.
Теорема (об интегрировании неравенств).
Если функции
и
интегрируемы на отрезке
и
везде на
,
то
.
Доказательство.
Так
как функции
и
интегрируемы, то мы можем выбрать любую
последовательность разбиений с
параметрами, стремящимися к нулю, для
того, чтобы в пределе получить интеграл.
Выберем разбиения
отрезка
на
равных промежутков:
и выделим точки
.
Тогда, с учетом заданного неравенства,
имеем:
,
и, переходя в последним неравенстве к
пределу при
,
получаем нужное нам неравенство.
Теорема (об оценке интеграла). Если
функция
интегрируема на отрезке
,
и если на всем этом отрезке справедливо
неравенство
,
то
.
Доказательство.
Воспользуемся
предыдущим свойством с учетом того, что
.
Теорема о среднем значении
Определение. Средним интегральным
функции
на отрезке
называется число
.
Теорема (о среднем интегральном).
Пусть функция
интегрируема на отрезке
,
и пусть на всем этом отрезке
.
Тогда
,
где
.
Доказательство.
По
теореме об оценке интеграла
,
откуда получаем
.
Теперь полагаем
.
В случае непрерывной функции справедлива следующая теорема.
Теорема (о среднем интегральном
значении непрерывной функции). Пусть
функция
непрерывна на отрезке
.
Тогда найдется точка
такая, что
.
Доказательство.
В
качестве
и
возьмем соответственно наименьшее и
наибольшее значение функции
на отрезке
.
По второй теореме Вейерштрасса эти
значения принимаются в некоторых точках
:
.
По теореме о среднем интегральном
принадлежит отрезку с
.
По теореме же Коши о промежуточном
значении непрерывной функции на отрезке
с концами в точках
и
найдется точка
,
в которой
.
Требование непрерывности функции
на
существенно. В самом деле, рассмотрим
Тогда
(множеству значений функции
).
Интеграл с переменным верхним пределом
Пусть функция
интегрируема на отрезке
.
Определим на этом же отрезке функцию
,
которую
часто называют интегралом с переменным
верхним пределом. Из свойства аддитивности
определенного интеграла вытекает
корректность определения функции
для
.
Теорема
(о непрерывности интеграла с переменным
верхним пределом). Если функция
интегрируема на отрезке
,
то функция
будет непрерывной на этом отрезке.
Доказательство.
Интегрируемая
на отрезке функция ограничена на нем,
то есть существует такое число
,
что
на
.
Пусть
,
и пусть
- приращение независимой переменной,
при котором
.
Воспользовавшись свойством аддитивности,
а также теоремами об оценках определенного
интеграла, получим
.
То
есть
,
что означает непрерывность функции
в точке
.
Теорема
(о дифференцируемости интеграла с
переменным верхним пределом). Пусть
функция
непрерывна на отрезке
.
Тогда функция
будет дифференцируемой на этом отрезке.
Доказательство.,
где
лежит между
и
.
Из непрерывности
следует, что при
будет справедливо
.
Основная формула интегрального исчисления.
Доказанная
выше теорема означает, что для непрерывной
на
функции
интеграл
будет первообразной функцией. Если
какая-либо другая первообразная
,
то
.
Имеем
,
поэтому
.
При
получим
.
Это - формула Ньютона-Лейбница, - основная формула интегрального исчисления.
Теперь мы можем вычислять определенный интеграл, не используя интегральные суммы.
Пример
1.
.
Пример
2. Найдем среднее интегральное значение
функции
на отрезке
.
Формула интегрирования по частям.
Теорема.
Если функции
и
непрерывно дифференцируемы на отрезке
,
то справедливо соотношение
.
Доказательство.
По
правилу дифференцирования производной
произведения имеем
.
По
условию все функции в этом равенстве
непрерывны, а, значит, и интегрируемы
на отрезке
.
Используя линейность интеграла и формулу
Ньютона-Лейбница, получаем
.
Пример
3.
.
Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема.
Если
- непрерывно дифференцируемое отображение
отрезка
в отрезок
такое, что
,
то при любой непрерывной на
функции
справедливо равенство
.
Доказательство.
Пусть
- первообразная функции
,
тогда по теореме о дифференцировании
сложной функции, функция
будет первообразной для функции
.
По формуле Ньютона-Лейбница получаем
.
Пример
4.
.