леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-14

44

Экстремумы функций многих переменных.

Определение. Говорят, что функция , определенная на множестве имеет локальный максимум (минимум) во внутренней точке множества , если существует окрестность такая, что при .

Локальный минимум и локальный максимум функции называются ее локальными экстремумами.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция , определенная в окрестности точки , имеет в точке частные производные по каждой из переменных .

Тогда, для того, чтобы функция имела в локальный экстремум, необходимо, чтобы все частные производные в этой точке обращались в ноль.

Доказательство. Рассмотрим функцию одной переменной, определенную в некоторой окрестности точки . В точке она имеет локальный экстремум. А так как , то .

Аналогично доказывается равенство нулю и остальных производных.

Равенство нулю частных производных дает лишь необходимое, но не достаточное условие существования экстремума функции многих переменных. Примером может быть функция в точке .

Определение. Точка называется критической (или стационарной) точкой функции , если в этой точке существуют и обращаются в ноль и все частные производные функции .

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно в окрестности точки , и пусть - критическая точка функции .

Если в тейлоровском разложении

функции в точке квадратичная форма

положительно определена, то в точке функция имеет локальный минимум, если отрицательно определена, то локальный максимум, если же квадратичная форма принимает значения разных знаков, то экстремум отсутствует.

Докажем эту теорему для функции двух переменных. Сформулируем ее для этого случая.

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно в окрестности точки , и пусть - критическая точка функции .

Если в тейлоровском разложении

(1)

функции в точке квадратичная форма

положительно определена, то в точке функция имеет локальный минимум, если отрицательно определена, то локальный максимум, если же квадратичная форма принимает значения разных знаков, то экстремум отсутствует.

Доказательство. Обозначим

и сделаем замену переменных, перейдя к полярным координатам с центром в точке и осями, параллельными старым координатным осям. Тогда

.

Запишем в новых обозначениях разложение (1):

или

.

Непрерывная на отрезке функция

принимает на этом отрезке свои минимальное и максимальное значения:

.

Рассмотрим сначала случай положительно определенной формы. Тогда ,

и приращение функции

,

то есть оно будет больше нуля при достаточно малых значениях .

То есть мы имеем строгий локальный минимум.

Аналогично проверяется, что в случае отрицательно определенной формы мы получаем строгий локальный максимум.

Если форма меняет знак, то . Пусть .

Если мы будем приближаться к нулю по лучу , то приращение будет отрицательным для достаточно малых значений . Если же вычислять значения на луче , то приращение будет для достаточно малых положительным.

Следовательно, в этом случае экстремум отсутствует.

Мы видим, что при исследовании функции на экстремум важным является вопрос определения знакопостоянства квадратичной формы.

Сформулируем достаточные условия знакопостоянства квадратичной формы для случая двух и переменных.

Теорема. Квадратичная форма будет положительно определенной, если и , отрицательно определенной, если , а , и будет менять знак, если .

В общем случае справедлива следующая теорема.

Теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы были положительны определители . Для отрицательной определенности формы необходимо и достаточно, чтобы .