леции-Деменко(2 семестр) / Lma2s-16

50

Относительные экстремумы.

Рассмотрим вопрос об экстремуме функции в предположении, что эти переменные подчинены уравнениям связи . Эту задачу мы будем записывать следующим образом:

Говорят, что в точке , удовлетворяющей уравнениям связи, функция имеет относительный или условный максимум (минимум), если неравенство

выполняется в некоторой окрестности точки для всех ее точек, удовлетворяющих уравнениям связи.

Необходимые условия относительного экстремума.

Рассмотрим случай поиска условного экстремума функции двух переменных при наличии одного уравнения связи.

(1)

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные смешанные производные в окрестности точки , причем , и пусть - точка условного экстремума в задаче (1).

Тогда существует число (множитель Лагранжа) такое, что .

Доказательство. Из условия следует, что и не могут быть равны нулю одновременно. Пусть, например, . Тогда по теореме о неявной функции в некоторой окрестности переменную можно явно выразить через переменную , причем функция будет непрерывной и дифференцируемой в этой окрестности, а ее производная вычисляется по формуле .

Точка в таком случае будет точкой абсолютного экстремума сложной функции . Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции одной переменной является равенство нулю производной. Запишем это условие:

.

То есть . Равенство нулю определителя означает линейную зависимость его строк. То есть равенство нулю некоторой нетривиальной линейной комбинации строк:

.

Так как , то и можно положить . И мы получаем равенство

.

Итак, в точке условного экстремума необходимо должно выполняться

Если ввести вспомогательную функцию (функцию Лагранжа) , то уравнения последней системы означают равенство нулю ее дифференциала, то есть решение этой системы является точкой стационарности функции .

В общем случае надо искать точки стационарности функции

.

Достаточные условия относительного экстремума.

Вернемся к задаче (1)

Пусть функции и имеют непрерывные вторые смешанные производные в окрестности точки , причем , и пусть - точка стационарности функции Лагранжа .

Отметим, что если переменные удовлетворяют уравнению связи , то справедливо равенство , поэтому при этих условиях точка будет точкой экстремума функций и одновременно.

Займемся вопросом существования экстремума функции в точке . Запишем приращение по формуле Тейлора, учитывая, что :

.

Можно показать, что при условии строгой положительности или отрицательности второго дифференциала, знак разности для достаточно малых приращений переменных определяется знаком первого слагаемого.

Распишем второй дифференциал:

.

Так как при наших условиях , то получаем, что знак приращения совпадает со знаком выражения

.

Таким образом, в нашей точке будет относительный минимум, если

и максимум, если

.

Или

В общем случае

,

достаточным условием существования относительного экстремума является сохранение в окрестности критической точки знака второго дифференциала функции Лагранжа

при условии, что переменные связаны соотношением

.