Вопрос №15. Правила Кирхгофа. Расчет линейных цепей с использованием правил Кирхгофа.

I Закон Кирхгофа - закон токов (для узлов цепей).

В участке электрических цепей очень часто содержатся узлы, в которых сходятся множество элементов, проводящих ток.

Если цепь работающая, то по разным участкам будут протекать различные токи. По закону сохранения заряда, как материального объекта, можно предположить, что количество заряда, приходящего в узел, должно быть численно равно количеству заряда, выходящего из узла:

разделив на t получаем:

, т.е. по определению

Окончательно имеем:

Сумма электрических токов, сходящихся в узле работающих цепей, всегда равна нулю.

II Закон Кирхгофа - закон напряжений (закон замкнутых цепей).

Величина электрического тока в последовательных цепях есть величина постоянная и по закону сохранения заряда  , а по закону Ома на каждом участке:

. Сложим левые и правые части уравнений:

Окончательно получаем  .

В любом замкнутом контуре сумма падений напряжений на всех участках цепи равна алгебраической сумме э.д.с., включенных в цепь.

Вопрос №16. Классическая теория проводимости металлов Друде. Теория Зоммерфельда.

Классическая теория электропроводности металлов Друде.

В теории Друде валентные электроны металла рассматривались как классический "электронный" газ (идеальный газ из электронов).

      В рамках элементарной кинетической теории полагаем, что валентные электроны (электроны проводимости) металлов представляют собой одинаковые твердые сферы, двигаются они по прямым линиям до столкновения друг с другом, время контакта частиц пренебрежимо мало по сравнению с временем "свободного" движения.

      Объемную концентрацию электронов проводимости можно оценить выражением:

(6.30)

     где   - объемная плотность металла (кг/м³), Z - валентность химического элемента, N_a - число Авогадро, А - относительная атомная масса элемента.

      Заряд электрона е =-1,6*10^-19 Кл, масса электрона m_e = 0,91*10^-30 кг. Величину "е" ниже будем считать положительной, а знак заряда электрона будем учитывать непосредственно в формулах.

      Плотность электронного газа:

(6.31)

     значительно больше плотности обычных газов при нормальных условиях.

      В теории Друде пренебрегают сильным электрон-электронным и электрон-ионным взаимодействием, полагая, что внутри металлического тела отдельный электрон практически ведет себя как свободная частица. Это дает нам право считать электрон "нейтральной" частицей при расчете взаимодействия ее с остальными частицами, но способной переносить заряд при расчете параметров электрического тока.

рис. 6.1

Рис. 6.1.

 Друде полагал, что электроны в своем движении сталкиваются с атомами (ионами) кристаллической структуры металла (столкновения электрон-электрон значительно менее вероятны). Картина последовательных соударений электрона с атомами кристаллической решетки показана на рис. 6.1.

     Современная теория оценивает вероятность такого механизма не очень высоко: рассеяние электронов имеет и другие механизмы. Поэтому не следует наглядную картину рис.6.1 понимать в буквальном смысле.

      Будем считать, что отношение

(6.32)

     представляет собой вероятность соударения электрона с рассеивающим центром, где dt - промежуток времени,   - время релаксации или время свободного пробега. Предполагается, что величина   не зависит от пространственного положения электрона и не меняется от соударения к соударению. Предполагается также, что электроны находятся в состоянии теплового равновесия со своим окружением. Механизм соударения детализируется следующим образом: скорость электрона после соударения статистически не связана со скоростью электрона до соударения (электрон "забыл" свою предысторию), направление скорости после соударения - случайное, хаотическое, а ее величина соответствует той температуре, которая имеет место в окрестности точки соударения.

Теория Зоммерфельда.

Представляет собой дальнейшее развитие теории Друде, отличаясь от последней тем, что распределение свободных электронов по энергиям описывается распределением Ферми-Дирака:

, где - химический потенциал фермиона (частица с полуцелым значением спина (собственной энергии импульса частицы)), Е – полная энергия системы.

, а не распределением Больцмана. Как и теория Друде, теория Зоммерфельда пренебрегает взаимодействием электронов друг с другом, а их взаимодействие с кристаллической решёткой сводит лишь к соударениям, при которых импульс электрона меняется скачком. Теория Зоммерфельда позволила объяснить отсутствие заметного вклада электронного газа в теплоёмкость металла при комнатной темп-ре. В теории Зоммерфельда этот вклад равен:  C_v=(p²/2).(kT/E_F).nk,  где E_F - Ферми энергия (максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур), Т - абс. температуpa, п - концентрация свободных электронов. При комнатной темп-ре эта теплоёмкость ~ в 100 раз меньше значения 3 nk/2, даваемого теорией Друде (при низких температурах электронный вклад в C_v может оказаться сравнимым с решёточным, обычно это происходит при темп-ре в несколько кельвинов). Другой класс явлений, где теории Друде и Зоммерфельда приводят к различным результатам, - кинетические эффекты, обусловленные наличием разброса электронов по энергиям (электронная теплопроводность, термомагнитные явления, термоэлектрические явления). Теория Зоммерфельда даёт для этих эффектов величину, в (E_F/kT)ⁿ (n=1, 2) раз меньшую, чем в теории Друде, что согласуется с экспериментом. Теория Зоммерфельда не могла объяснить эффекты, обусловленные зонной структурой энергетического спектра металлов, например, положит. знак постоянной Холла у многих проводников. Тем не менее во многих случаях теория Зоммерфельда в силу своей простоты оказывается удобной для численных оценок и качественного объяснения электронных свойств металлов.