2.13 Доведення методом доповнення

Доведення перше.

Поряд з доказами методом складання можна навести приклади доказів за допомогою віднімання, званих також доказами методом доповнення. Загальна ідея таких доказів полягає в наступному.

Від двох рівних площ потрібно відняти рівновеликі частини так, щоб в одному випадку залишилися два квадрати, побудовані на катетах, а в іншому-квадрат, побудований на гіпотенузі. Адже якщо в рівностях В-А = С і В1-А1 = С1 частина А рівновелика частини А1, а частина У рівновелика В1, то частини С і С1 також рівновеликі.

Пояснимо цей метод на прикладі. На рис. до звичайної піфагорова фігурі приставлені зверху і знизу трикутники 2 і 3, рівні вихідного трикутнику 1. Пряма DG обов'язково пройде через C. Зауважимо тепер (далі ми це доведемо), що шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі. Якщо ми від першого з них віднімемо трикутники 1 і 2, то залишаться квадрати, побудовані на катетах, а якщо від другого шестикутника віднімемо рівні трикутники 1 і 3, то залишиться квадрат, побудований на гіпотенузі. Звідси випливає, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.

Залишається довести, що наші шестикутники рівновеликі. Зауважимо, що пряма DG ділить верхній шестикутник на рівновеликі частини; те саме можна сказати про пряму CK і нижньому шестикутнику. Повернемо чотирикутник DABG, що становить половину шестикутника DABGFE, навколо точки А за годинниковою стрілкою на кут 90; тоді він співпаде з чотирикутником CAJK, що становить половину шестикутника CAJKHB. Тому шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі.

2.14 Інше доведення методом віднімання

Познайомимося з іншим доказом методом віднімання. Знайомий нам креслення теореми Піфагора укладемо в прямокутну рамку, напрями сторін якої збігаються з напрямками катетів трикутника. Продовжимо деякі з відрізків фігури так, як вказано на малюнку, при цьому прямокутник розпадається на кілька трикутників, прямокутників і квадратів. Викинемо з прямокутника спочатку кілька частин так щоб залишився лише квадрат, побудований на гіпотенузі. Ці частини наступні:

1. трикутники 1, 2, 3, 4;

2. прямокутник 5;

3. прямокутник 6 і квадрат 8;

4. прямокутник 7 і квадрат 9;

Потім викинемо з прямокутника частини так, щоб залишилися тільки квадрати, побудовані на кататись. Цими частинами будуть:

1. прямокутники 6 і 7;

2. прямокутник 5;

3. прямокутник 1 (заштрихований);

4. прямокутник 2 (заштрихований);

Нам залишилося лише показати, що відібрані частини рівновеликі. Це легко бачити в силу розташування фігур. З малюнка ясно, що:

1. прямокутник 5 рівновеликий самому собі;

2. чотири трикутники 1,2,3,4 рівновеликі двом прямокутникам 6 і 7;

3. прямокутник 6 і квадрат 8, взяті разом, рівновеликі прямокутнику 1 (заштрихований);

4. прямокутник 7 разом з квадратом 9 рівновеликі прямокутнику 2 (заштрихований);

Доведення закінчено.

Размещено на Allbest.ru