Вопросы на экзамен

Вопросы по курсу "Дискретная математика" для студентов групп АП

1. Дайте определение взаимно однозначного соответствия между двумя множествами, приведите примеры. Дайте определение счетного множества. Докажите счетность множеств всех целых и всех рациональных чисел.

2. Дайте определение счетного множества. Докажите счетность множеств всех слов в конечном алфавите и всех конечных подмножеств счетного множества.

3. Докажите, что всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество, а также счетнасть объединения любых двух /или счетного семейства/ счетных множеств.

4. Дайте определение несчетного множества. Докажите, что множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц несчетно.

5. Дайте определение несчетного множества. Докажите несчетность множества всех подмножеств натурального ряда и множества всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.

6. Объясните, что значит, что мощность одного множества превосходит мощность другого. Докажите, что мощность множества всех подмножеств любого множества имеет мощность большую, чем данное множество.

7. Дайте определение конечного автомата, приведите пример. Дайте определение множества, представимого /распознаваемого/ данным автоматом. Докажите, что существуют множества, не представимые никаким конечным автоматом.

8. Дайте определение регулярного множества /события/, приведите примеры. Докажите какие-либо тождества в алгебре регулярных событий. Сформулируйте основную теорему о связи регулярных событий с конечными автоматами.

9. Изложите алгоритм синтеза автомата, распознающего данное регулярное событие.

10. Дайте определение машины Тьюринга, приведите пример. Дайте определение функции, вычисляемой данной машиной Тьюринга. Постройте МТ, вычисляющую функцию f(n)=2n.

11. определение функции, универсальной для данного класса функций. Докажите, что класс функций обладает универсальной функцией тогда и только тогда, когда он непуст и не более чем счетен.

12. Изложите тезис Черча. Изложите аргументы, делающие его убедительным.

13. Докажите существование вычислимой функции, универсальной для класса всех вычислимых функций одного переменного.

14. Докажите, что универсальная вычислимая функция не может быть продолжена до всюду определенной вычислимой. Докажите, что ее область определения - перечислимое неразрешимое множество.

15. Дайте определение нормального алгорифма Маркова, приведите пример. Дайте определение функции, вычисляемой нормальным алгорифмом. Постройте нормальный алгорифм, вычисляющий функцию f(n)=2n.

16. . Дайте определение разрешимого множества, приведите примеры. Докажите теорему о свойствах замкнутости класса разрешимых множеств.

17. Дайте определение перечислимого множества, приведите примеры. Докажите теорему о свойствах замкнутости класса перечислимых множеств.

18. Дайте определения разрешимого и перечислимого множеств, приведите примеры. Докажите теорему о связи этих понятий.

19. Докажите, что множество перечислимо тогда и только тогда, когда оно есть область определения вычислимой функции. Докажите существование перечислимого неразрешимого множества.

20. Доказать теорему Райса.

21. Теорема Форда – Фалкерсона.

22. Алгоритм Форда – Фалкерсона.