6.Зависимость и независимость событий. Условная вероятность

Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

В противном случае события являются зависимыми. Условной вероятностью события B при наличии A называется величина

(2.8)

(при этом полагается, что P(A) не равно 0).

Условную вероятность события P(B/A) можно трактовать как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло.

Заметим, что если имеется несколько событий A₁, A₂, …, A_n, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий A_i и A_j, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.

 

7. Теоремы о произведении двух зависимых и независимых событий и их следствия.

Суммой событий   и   называется событие  , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий   или  , т. е. в наступлении события  , или события  , или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий   и   равна сумме вероятностей этих событий:  . 

8. Теорема сложения вероятностей совместимых событий

Теорема. Вероятность суммы двух  совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:    Если события А и В несовместимы, то их  произведение А В — невозможное событие и,  следовательно, Р(А В) = 0, т. е.   

9. Формула полной вероятности.

10. Формула Бейеса.

11. Основные формулы комбинаторики

P_n = n!,

A^m_n = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

С ^m_n = n! / (m! (n - m)!).

A^m_n = P_mC ^m_n.

P_n (n₁, n₂, ...) = n! / (n₁! n₂! ... ),

12. Формула Бернулли

Рассмотрим случай с двумя возможными исходами опытов, т.е. в результате каждого опыта событие A появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью q=1-p. Вероятность P(n,k)того, что в последовательности из n опытов интересующее нас событие произойдет ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна (формула Бернулли)

. (4.1)

Следствия из формулы Бернулли.

1. Вероятность того, что событие А наступит менее k раз

(4.2)

2. Вероятность того, что событие наступит более k раз

(4.3)

3. Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли, событие А появится от k1 до k2 раз

. (4.4)

4. Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой

(4.5)

Число к₀, которому соответствует максимальная биномиальная вероятность  , называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами:  . (4.6)

 

13.и 14. Локальная теорема Лапласа Интегральная теорема Лапласа

Теоремы Муавра-Лапласа. На практике приближенные формулы Муавра-Лапласа применяются в случае, когда p и q не малы , а npq>9.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из n  независимых испытаний равна одной и той же постоянной р=const (0<р<1), то вероятность   того, что во всех этих испытаниях событие А появится ровно k раз, приближенно вычисляется формулой:

, (4.8)

где:   ,  -- кривая Гаусса.

Таблицы значений функции   даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть вероятность появления события А в каждом из n (n→∞) независимых испытаний равна одной и той же постоянной р (0<р<1), то вероятность   того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k₁ и не более k₂ раз, приближенно вычисляется формулой:

, (4.9)

где

 - функция Лапласа,

, 

Значения аргументов функции Лапласа для х Î[0,5] даны в приложениях к учебникам по теории вероятностей (Приложение 2 настоящего методического пособия), для x>5 F(x)=1/2.Функция нечетная - F(x)= F(-x).

 

15. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых событиях.

Вновь будем считать, что производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события   постоянна и равна    .

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты   от постоянной вероятности  по абсолютной величине не превышает заданного числа  . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства

(4.2)

Эту вероятность будем обозначать так:

Заменим неравенство (4.2) ему равносильными:

или

16. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные события.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество Ξ, которое называется множеством возможных значений случайной величины. Обозначения случайной величины: X, Y, Z; возможные значения случайной величины: x, y, z.

В зависимости от вида множества Ξ случайные величины могут быть дискретными и недискретными. СВ Х называется дискретной, если множество ее возможных значений Ξ – счетное или конечное. Если множество возможных значений СВ несчетно, то такая СВ является недискретной.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: X=φ(ω), где ω – элементарное событие, принадлежащее пространству Ω. При этом множество Ξ возможных значений СВ Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

 

17. Биноминальный закон распределения дискретной случайной величины

Бернулли: Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения (закон распределения Бернулли), если она принимает целочисленные неотрицательные значения 0, 1, 2, 3, …, m, …, n  с  вероятностями, вычисляемыми по формуле Бернулли:

xi	0	1	…	m	…	n
pi	qn		…		…	pn

где q=1-p;    - число сочетаний из n элементов по m.

18. Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Пусть имеется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (будем называть это потоком событий). Интенсивность потока (среднее число событий, появляющихся в единицу времени) равна λ. Пусть этот поток событий - простейший (пуассоновский), т.е. обладает тремя свойствами: 1) вероятность появления k событий за определённый промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчёта, другими словами, интенсивность потока есть постоянная величина (свойство стационарности); 2) вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появлялись события в прошлом или нет (свойство «отсутствия последействия»); 3) появление более одного события за малый промежуток времени практически невозможно (свойствоординарности). Вероятность того, что за промежуток времени t событие произойдёт k раз, равна

19. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

20. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины