20. Векторы- направленные отрезки. Линейные операции над векторами.

Определения

1 . . Вектор- направленный отрезок.

2.

3. колинеарны будучи приведенными к общему началу, лежат на одной прямой.

4. компланарны будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

5. , если они имеют одинаковые направления и длины.

6 . Вектор , построенный по правилу треугольника или параллелограмма называется суммой векторов .

правило треугольника правило параллелограмма

Определение. Произведением на число назовем вектор

1.

2.

3.

Свойства линейных операций над векторами.

1.

2.

3. ( + ) = +

4.

5.

6. : + =

7.

8.

Вывод. Множество векторов- направленных отрезков с операциями как дано в определениях, является линейным пространством.

Для пространства направленных отрезков справедливы все теоремы, доказанные для общего случая.

21.Линейно зависимые и независимые системы векторов

Определение 1. Вектор вида называется линейной комбинацией векторов .

Здесь некоторые действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Определение 2. Система векторов называется линейно зависимой системой (ЛЗС), если ( :

. (*)

Если же равенство (*) может быть выполнено только при = 0, то система векторов называется линейно независимой системой (ЛНС).

Утверждение 1. Система векторов является линейно зависимой системой тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов может быть записан в виде линейной комбинации других векторов.

Доказательство.

1. Пусть – линейно зависимая система. Тогда :

.

Пусть для определённости . Тогда = — — ,

то есть вектор может быть записан в виде линейной комбинации других векторов системы.

2. Пусть хотя бы один из векторов может быть записан в виде линейной комбинации других. Пусть для определённости это справедливо для вектора :

= — — .

Перепишем:

— — = .

Справедливо равенство (*), Следовательно, система векторов является линейно зависимой системой.

▲

Утверждение 2. Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой системой.

Доказательство. Пусть для определённости = .

В этом случае справедливо равенство (*) при :

1 + + 0 .

Следовательно, система является линейно зависимой системой.

Утверждение 3. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть для определённости векторы , входящие в систему , образуют линейно зависимую систему. Тогда справедливо равенство:

,

причём .

Следовательно, справедливо равенство:

,

в котором . Система является линейно зависимой.

▲

Утверждение 4. Векторы образуют линейно зависимую

систему тогда и только тогда, когда – коллинеарные векторы.

Доказательство.

1. Пусть векторы коллинеарны. Следовательно, : , отсюда, в силу утверждения 1, система является линейно зависимой системой.

2. Пусть векторы образуют линейно зависимую систему. Тогда, в силу утверждения 1, : . Следовательно, векторы являются коллинеарными.

Утверждение 5. Векторы образуют линейно зависимую систему тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство.

1. Пусть векторы образуют линейно зависимую систему . В силу утверждения 1, хотя бы один из векторов может быть записан в виде линейной комбинации других. Пусть, для определённости, :

Следовательно, по определению получаем, что векторы являются компланарными.

2. Пусть - компланарны.

2a). Среди есть коллинеарная пара. В силу утверждения 4 эта пара образует линейно зависимую систему. В силу утверждения 3 векторы образуют линейно зависимую систему.

2б). Среди векторов нет коллинеарной пары. Приведём векторы к общему началу:

Достроим параллелограмм с диагональю . Получаем: . В силу утверждения 1 система является линейно зависимой системой.

Утверждение 6. Любые 3 вектора на плоскости образуют линейно

зависимую систему.

Доказательство утверждения 6 проводится аналогично тому, как это

было выполнено для утверждения 5.

Утверждение 7. Любые четыре вектора в пространстве

образуют линейно зависимую систему.

Доказательство.

1. Пусть среди векторов нет некомпланарной тройки. Приведём векторы к общему началу, построим параллелепипед с диагональю и рёбрами, параллельными векторам

Получили: . В силу утверждения 1 система является линейно зависимой.

2. Пусть среди векторов содержится компланарная тройка. Тогда в силу утверждения 3 система является линейно зависимой.