17. Решение неоднородных систем уравнений.
(1)
(1’)
Соответствующая однородная система:
(2)
(2’)
Лемма.
Пусть
-
решения (1’).
Тогда
-
решение (2’).
Доказательство:
,
Теорема (об общем решении неоднородной системы (1).
(3)
-
общее решение неоднородной системы
-
частное решение неоднородной системы
-
общее решение соответствующей однородной
системы (2’).
- ФСР для однородной системы (2’)
-
произвольные постоянные
Доказательство:
Необходимо доказать:
1). Правая часть (3) действительно является решением системы (1).
2).
Любое решение
системы (1)
можно записать в виде
при неот. значениях
1).
Докажем
2). Пусть
-
произвольное решение (1’).
Тогда в силу леммы
-
решение системы
=
+
Замечание.
Пусть
.
Тогда если
,
то применимы формулы Крамера (так как
матрица системы является невырожденной
квадратной)
Пусть
в системе
уравнений могут быть отброшены (они не
являются базисными). Тогда получим
случай
решение существует и только одно.
18. Алгоритм решения неоднородных слау
Алгоритм решения неоднородных СЛАУ основан на применении формулы (3). Покажем это на примере.
Задача. Найдем общее решение системы
.
;
Rang
A=2;
базисный минор расположен в верхнем
левом углу.
;
Rang
=2;
система
совместна по теореме Кронекера-Капелли;
небазисное третье уравнение отбрасываем.
.
Составляем соответствующую однородную СЛАУ:
.
Ищем
ФСР этой системы;
(число неизвестных),
(ранг матрицы),
Следовательно,
ФСР состоит из одного столбца. Базисные
столбцы – первый и второй, поэтому
считаем базисными переменными,
считаем свободной переменной. Ищем
столбец ФСР в виде
.
Подставляем в последнюю однородную систему, получим задачу для определения остальных компонент столбца E:
<=> 
.
Отсюда
.
Ищем частное решение неоднородной системы. Вместо свободной переменной подставим произвольное число, например, положим
<=> 
Отсюда
.
+
C
.
Ответ.
Замечание.
Если бы оказалось, что
,
а базисный минор расположен в верхнем
левом углу, то считали бы переменные
свободными. В этом случае удобно искать
элементы решения в виде
.
19. Метод Гаусса решения слау (метод последовательного исключения неизвестных).
Пусть
.
Если это так, то переставим уравнения
или перенумеруем неизвестные.
1
этап.
Исключаем
из
2-го,...,
-
го уравнения с помощью 1-го уравнения.
Для этого из 2-го уравнения вычитаем 1-е
уравнение, умноженное на
, из 3-го уравнения вычитаем 1-е уравнение,
умноженное на
,
и так далее до умножения на
.
При этом может оказаться, что одно или несколько уравнений приобрели вид:
После 1-го этапа:
Пусть
.
Если это не так, то…
2-й этап.
Исключаем
из
3-го,...,
-
го уравнения с помощью 2-го уравнения.
Для этого из
-го
уравнения
вычитаем
2-е уравнение, умноженное на
.
Может при этом оказаться, что некоторые уравнения имеют вид . С ними поступим так же.
После
-
го этапа:
Возможны 2 случая:
1.
,
подставим в
-е
уравнение. Найдем
и так далее до
.
По
построению ни одно из чисел
в случае
находится единственное решение системы
(1).
2.
(то
есть матрица преобразованной системы
трапециевидная).
Назовем
переменные
свободными,
-
базисными, перепишем преобразованную
систему (1)
в
виде
Система (3)- система с треугольной матрицей, на главной диагонали которой нет нулей решение существует и только одно. Ищем это решение (обратный ход метода Гаусса).
Найдем
из последнего уравнения. Оно зависит
от произвольных постоянных
(всего
).
Подставим
в
-
е уравнение, найдем
и так далее. Таким образом найдем
.
Общее решение:
Замечание 1.
Метод Гаусса применим для решения любой СЛАУ. При этом, если система не совместна, то метод Гаусса может это установить.
Замечание 2.
Метод
Гаусса позволяет вычислять ранг матрицы
определитель квадратной матрицы.
Замечание 3.
Совместная
система имеет единственное решение,
если ее матрица приводится к треугольному
виду
,
и бесконечное множество решений, если
.