11. Методы элементарных преобразований и окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы.

Определение: Элементарными преобразованиями строк называется:

1). Сложение строк

2). Умножение строки на число

3). Перестановка строк.

Теорема (без доказательства). Элементарные преобразования строк и столбцов, а так же вычеркивание нулевой строки и нулевого столбца не меняют ранга матрицы .

Два способа вычисления ранга матрицы:

1). Метод окаймляющих миноров.

Пусть существует минор -того порядка, не равный нулю, а все миноры -го порядка окаймляющие (содержащие в себе данный ненулевой минор 2-го порядка) равны нулю. Тогда и все остальные миноры порядка равны нулю (смотри доказательство теоремы о базисном миноре и его свойствах). Тогда , то есть достаточно рассмотреть окаймляющие миноры и доказать, что они равны.

2). Метод элементарных преобразований.

Идея:

Пусть , все строки, начиная с являются нулевыми.

Утверждение (без доказательства).

Любую матрицу можно привести к трапеционной форме с помощью элементарных преобразований.

Доказательство основано на применении метода Гаусса.

12. Теорема Кронекера-Капелли о совместности слау

(1)

- матрица коэффициентов.

- столбец неизвестных. - столбец правых частей.

(1’)

. - расширенная матрица системы (1).

Теорема (Кронекера-Капелли).

Система (1) совместна.

Доказательство:

Система (1) совместна хотя бы одно решение

, где - , -

То есть столбец может быть выражен линейным образом через столбцы матрицы , поэтому добавление к матрице нового столбца не может изменить .

13. Однородные слау. Свойства решений. Условие нетривиальной совместности. Ядро матрицы

(2)

Очевидно, что всегда существует ненулевое (тривиальное) решение .

Когда существует ненулевое решение, тогда система называется нетривиально-совместной.

Теорема:

Система (2) нетривиально совместна , - число неизвестных

Доказательство:

Система (2) нетривиально совместна

, где - столбцы матрицы .

система столбцов является линейно-зависимой

- число столбцов.

Следствия:

1). число уравнений меньше числа неизвестных. Тогда система (2) нетривиально-совместна.

Доказательство:

2). число уравнений совпадает с числом неизвестных. Тогда система (2) нетривиально совместна тогда и только тогда, когда

Определение: Пусть , . Фундаментальной системой решений для системы (2) называется система из линейно-независимых между собой решений.

Теорема. Пусть - решения (2’). Тогда - решения (2’), - тоже решения (2’), где - любое действительное число.

Доказательство:

1). Пусть - решения системы (1’) , .

Вычислим .

2). Пусть - решения системы (1’) .

Определение. Множество всех решений однородной системы (1) называется ядром матрицы

и обозначается