7. Линейно независимые системы строк и столбцов, их свойства. Необходимое и достаточное условие линейной независимости системы строк ( столбцов ).

Определение 4. Выражение вида , где -некоторые действительные числа, называется линейной комбинацией столбцов . Числа - коэффициенты линейной комбинации.

Определение 5. Система столбцов - называется линейно-зависимой, если существуют такие числа

( - нулевой столбец, высоты ).

Если же линейная комбинация столбцов равна , и если , то система столбцов называется линейно-независимой.

Определение 6:

Говорят, что столбец линейно выражен через столбцы , если:

, где - некоторые действительные числа .

Утверждение 1.

Система столбцов является линейно-зависимой хотя бы один из столбцов может быть линейно-выражен через другие.

Доказательство:

1. Пусть - линейно-зависимая система столбцов, то есть (не все равные нулю):

. Пусть для определенности .

, то есть столбец линейным образом выражен через .

2. Пусть хотя бы один из столбцов может быть выражен линейным образом через другие.

Пусть для определенности, это столбец

.

.

,

.

Причем, среди не все равны нулю, например система является линейно-зависимой.

8. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Определение 1. (ранг матрицы).

1). Если , то ранг такой матрицы равен нулю.

2). Пусть - ненулевая матрица, тогда рангом матрицы назовем максимальный порядок минора, не равного нулю.

Пример: . .

Все миноры четвертого порядка равны нулю. Ранг матрицы равен 3.

Обозначение: .

Определение 2.

Минор, порядка , не равный нулю, у матрицы с рангом , называется базисным минором (в примере - базисный).

Замечание: базисных миноров может быть много, все они имеют порядок, совпадающий с рангом матрицы, все они должны быть не равны нулю.

Определение 3. Строки и столбцы, формирующие базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Рассмотрим систему столбцов высоты .

строк.

Теорема (о базисном миноре).

1. Базисные строки (столбцы) образуют линейно-независимую систему строк (столбцов).

2. Все остальные строки (столбцы) могут быть выражены линейным образом через базисные.

Доказательство: Пусть , . Не уменьшая общности, считаем, что базисный минор (то есть не нулевой минор порядка ) расположен в верхнем левом углу матрицы .

. - базисные столбцы. - не базисные столбцы.

Докажем теорему для столбцов.

Докажем, что столбцы образуют линейно-независимую систему. От противного:

Пусть образуют линейно-зависимую систему . Тогда укороченные базисные столбцы

(содержащие только одни верхние чисел) образуют линейно-зависимую систему. Тогда хотя бы один из столбцов линейным образом выражаются через другие

базисный минор

противоречие. образуют линейно-независимую систему.

Докажем теперь, что любой столбец , , может быть выражен линейным образом через базисные столбцы. Фиксируем . Все . содержит две одинаковые строки .

представляет из себя минор матрицы порядка

все миноры порядка равны нулю .

Меняем , . Разлагаем по нижней строке.

- базисный минор.

(x)

…………….

Алгебраические дополнения к элементам нижней строки не зависят он неё использованы общие обозначения.

(x) (используем )

Столбец линейным образом выражен через базисные столбцы .