5. Обратная матрица и её вычисление.

Пусть есть .

Определение 1. Матрица называется левой (правой) обратной к матрице , если

.

Утверждение 1. Пусть матрицы (левая) и (правая) - обратные к матрице . Тогда .

Доказательство: . .

Матрица называется обратной матрицей к матрице , то есть .

Лемма (о фальшивом разложении определителя).

.

Доказательство:

В левой части выписано разложение определителя по -той строке, а так как -тая и -тая строки не совпадают, следовательно получаем равенство нулю.

Следствие: . .

Теорема (о существовании обратной матрицы).

.

Доказательство:

1). Необходимость: Пусть , тогда

2). Достаточность: Пусть , докажем существование

Рассмотрим

. Здесь - алгебраические дополнения к

Докажем, что является левой обратной матрицей к матрице . Необходимо, чтобы .

. Докажем, что .

.

Аналогично доказывается, что является правой обратной к матрице : , то есть .

Замечание: .

Утверждение 2.

Доказательство. Пусть есть две обратные матрицы- и .

.

Утверждение 3.

Доказательство: Необходимо проверить, что .

Имеем:

Утверждение 4.

.

Утверждение 5.

Утверждение 6. (очевидно)

Замечание: Формула не используется при больших порядках матрицы . Если , то применяют метод Гаусса.

6. Постановка задачи о решении системы линейных алгебраических уравнений (слау). Правило Крамера решения систем с квадратной матрицей.

(1)

1). Упорядоченная совокупность из чисел называется решением системы (1) , если при подстановке в левую часть равенства получается верные равенства.

2). Система называется совместной, если она имеет только одно решение (и несовместная в противном случае).

3). Совместная система определена, если она имеет единственное решение (и не определена, если решений больше, чем одно).

Исследовать и решить систему значит:

1). Установить совместность.

2). Если система определена, то найти единственное решение, а если не определена, то множество решений.

называется матрицей системы .

- столбец неизвестных. - столбец правых частей.

Легко проверить, что система (1) может быть задана в матричном виде: (1’)

Определение: две системы называются эквивалентными, если множество их решений совпадает.

Рассмотрим СЛАУ с невырожденной ( ) квадратной матрицей .

Теорема (Крамера). Решение СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей существует и единственно, причем справедливы формулы: (формулы Крамера), где

.

Доказательство:

1). Докажем единственность.

Пусть существуют два решения , .

. Домножим равенство на . Слева:

.

.

Таким образом, доказано, что решение единственно. Одновременно получена формула . Действительно: вычисляется по формуле после подстановки в , обращает все уравнения в верные равенства.

Преобразуем

Вычислим : .

В круглых скобках выписано разложение определителя по -тому столбцу. В все столбцы, кроме -го, совпадают с соответствующими столбцами в , а в качестве -того выписан столбец :

. То есть мы доказали: .

Замечание: использование формулы Крамера не целесообразно из-за больших затрат времени (необходимо вычислить определитель -го порядка). Необходимо использовать другой метод (например, метод Гаусса).