3. Свойства определителей.
Пусть
есть матрица
.
Определение
1:
Число
называется определителем
-го
порядка матрицы
.
Обозначение:
,
.
1. Определитель -го порядка представляет собой сумму из слагаемых.
2.
Каждое слагаемое представляет из себя
произведение
элементов определителя, взятого по
одному из каждой строки и каждого
столбца, взятое со знаком
.
(всего
6 слагаемых).
Пример:
Выписать общую формулу для определителя 3-го порядка.
П.3. Свойства определителя.
1).
Определитель матрицы не меняется при
транспонировании, то есть
.
Доказательство:
Пусть
есть матрица
.
Пусть также
.
.
Очевидно
,
{
,
}.
Рассмотрим
произвольное слагаемое в определителе
:
.
Это произведение входит в определитель
со
знаком, определяемым подстановкой
:
.
Очевидно, что четность подстановки
и
совпадает
определители
и
состоят из одинаковых слагаемых
=
=
.
2). Если хотя бы элементы одной строки в определителе равны нулю, то = 0.
3). После перемены местами двух строк, определитель меняет знак.
Доказательство:
Пусть
поменяли местами
ю
и
ю
строки. Получили матрицу
.
Необходимо доказать, что
=
.
или
.
Рассмотрим произвольное слагаемое в определителе .
.
Данное произведение входит в со знаком, определяемым четностью подстановки :
.
Подстановки
и
имеют разную четность
и
различны
и
состоят из одних произведений, но взятых
с противоположными знаками
=
.
4). Если определитель содержит две одинаковых строки, то он равен нулю.
Доказательство:
Переставим
одинаковые строки. С одной стороны,
меняет знак, а с другой он не изменится
.
5). Общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.
.
6). Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Доказательство: смотри свойства 4) и 5).
7).
Пусть элементы
-той
строки могут быть записаны в виде:
,
где
.
Тогда справедлива формула:
8). Если одна из строк определителя является линейной комбинацией каких-либо других строк, то такой определитель равен нулю.
9). Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответственно элементы некоторых других строк, взятых с некоторым коэффициентом.
Замечание:
так как
,
то аналогичные свойства 1) - 9) выполнены
и для столбцов.
Утверждение 1 (без доказательства). Пусть и - матрицы одного порядка. Тогда
.
Утверждение 2.
Утверждение 3. (очевидно из утверждения 2)
4. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя разложением по строке и столбцу.
Пусть
.
Определение
1.
Минором
-го
порядка матрицы
(не обязательно квадратной) называется
определитель, стоящий на пересечении
некоторой
-й
строки и
-го
столбца.
Определение 2. Пусть . Минором к элементу называется определитель, полученный из определителя после вычеркивания -й строки и -го столбца.
Определение
3.
Величина
называется алгебраическим дополнением
к элементу
.
Лемма (без доказательства).
Произведение
является суммой слагаемых вида
,
взятых с некоторыми знаками. То есть
это произведение представляет из себя
сумму некоторых слагаемых из
,
причем можно доказать, что знак каждого
такого слагаемого такой же, как и в
.
Теорема (о вычислении определителя разложением по 1-той строке):
(*)
(формула разложения определителя по
1-той строке)
Доказательство:
В силу леммы 1-я часть формулы является суммой произведений элементов, входящих в (причем с тем же знаком).
В
слагаемых правой части не может быть
повторов, так как все произведения,
содержащие
могут быть только в
.
Внутри суммы
тоже не может быть повторов.
левая
и правая части состоят из n!
одних и тех же слагаемых без пропусков
и повторений => (*)
справедливо:
Замечание:
1. Аналогично доказывается формула разложения по -й строке:
2.
Аналогично доказывается формула
разложения по
-му
столбцу:
3. Определитель Вандермонда.
По индукции:
Пример:
n=3:
