53. Гипербола. Её определение и свойства.

О пределение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная и равная .

Выведем каноническое уравнение гиперболы.

В ведем каноническую систему координат:

Пусть

Пусть = … (смотри чертеж)

Возведем в квадрат, .…

Пусть

- каноническое уравнение гиперболы. - полуоси гиперболы.

Гипербола имеет наклонные асимптоты (диагонали основного прямоугольника лежат на наклонных асимптотах)

При , - нет точек.

Докажем, что - наклонные асимптоты для случая ,

- уравнение наклонной асимптоты.

При , - нет точек гиперболы.

при , наклонная асимптота .

Аналогично доказывается наличие наклонной асимптоты

1. при ,

2. при ,

3. при ,

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Определение. Прямые называются директрисами гиперболы.

Утверждение (директориальное свойство гиперболы).

- задание любых двух параметров из четырех однозначных определений гиперболы.

- касательная к точке .

Можно доказать, что

Луч света, выпущенный из точки после отражения от внутренней поверхности гиперболы будет двигаться так, как будто выпущен из , то есть если в одном из фокусов поместить точечный источник, то в другом фокусе появляется мнимый источник.

- уравнение гиперболы, сопряженной к .

54. Парабола и её свойства.

О пределение. Парабола- геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых до фиксированной точки, называемой фокусом до фиксированной прямой, называемой директрисой равна 1.

Введем каноническую систему координат.

- в канонической системе координат.

Число называется фокальным параметром.

, точка - посередине между и .

Самостоятельно доказать, что в канонической системе координат

- каноническое уравнение параболы.

Свойство параболы:

П усть в точке построена касательная к параболе.

Пусть

Тогда , где

5 5. Кривые второго порядка.

Если , то говорят, что - кривая 2-го порядка.

Не всякое уравнение такого типа определяет кривую 2-го порядка. Например, - не определяет никакой кривой на плоскости

(это так называемый мнимый эллипс).

56. Поверхности второго порядка.

Пусть введена декартова система координат в пространстве.

Пусть

Тогда говорят, что уравнение определяет поверхности 2-го порядка в пространстве.

- «мнимый» эллипсоид

Рассмотрим основные типы поверхностей 2-го порядка.