48. Определение. Матрица квадратичной формы. Преобразование матрицы квадратичной формы при линейном преобразовании координат.

Определение. Квадратичной формой от переменных , называется форма вида:

Пример:

Поэтому считаем для симметрии, что

Определение. Симметричная матрица называется матрицей квадратичной формы .

Пример: . На главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах, а остальные составляющие матрицы- коэффициенты при

Пусть выполняется линейное последовательное преобразование переменных:

С , С , ,

Очевидно

- матрица квадратичной формы в новых переменных.

49. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Определение. Пусть . Тогда говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид. Если более того , то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид.

Задача: привести квадратичную форму к каноническому виду.

Пример:

= .

Что делать, если в нет квадратов?

Пример. (смотри предыдущий пример)

51. Знакоопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Закон инерции.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если , причём

Пусть имеет минор . Назовём минором минимальное значение в левом верхнем углу.

Теорема (критерий Сильвестра).

1). Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главный минор

2). Квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры чередуются по знаку, начиная с минуса.

Определение. Положительноопределенные и отрицательнопределенные квадратичные формы называются знакоопределенными.

(но не положительноопределенная!)

Теорема (закон инерции квадратичных форм).

Количество знаков «+» и «-» в каноническом виде квадратичной формы не зависит от линейных преобразований переменных.

52. Эллипс. Его определение и его свойства. К ривые второго порядка.

Если , то говорят, что - кривая 2-го порядка.

Не всякое уравнение такого типа определяет кривую 2-го порядка. Например, - не определяет никакой кривой на плоскости

(это так называемый мнимый эллипс).

О пределение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек на плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная и равная .

Введем каноническую систему координат:

эллипсу

Введем уравнение эллипса в канонической системе координат.

=

=

- каноническое уравнение эллипса

Величины и называются полуосями эллипса.

Пусть

и ограничена

При вертикальные касательные.

Определение 2. Величина называется эксцентриситетом эллипса.

, для окружности

для окружности,

О пределение 3. Прямые называются директрисами эллипса.

Утверждение (директориальное свойство эллипса):

эллипсу

Итог.

Кривая на плоскости является эллипсом

- для точек кривой

В некоторой декартовой системе координат

для точек кривой.