42. Спектральные свойства линейного оператора.

Обозначим

Теорема. - линейное пространство.

Доказательство.

1). Докажем замкнутость относительно и .

Пусть , ,

2). Пусть

Аксиомы °- 8° так как все элементы принадлежат Л.П.

1) + 2) + ( °- 8°) - линейное пространство.

Замечание. Один собственный вектор соответствует одному собственному числу, но каждому собственному числу соответствует целое пространство собственных векторов.

Теорема. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, образуют ЛНС.

Доказательство.

По индукции .

Предположим, что утверждение верно для , то есть - ЛНС. Докажем, что тогда и система тоже ЛНС.

Пусть - ЛЗС, то есть (*)

Вычтем из предыдущего равенства равенство (*), домноженное на :

Левая часть является линейной комбинацией векторов , в которой не все коэффициенты равны нулю. Но - ЛНС в правой части не может быть .

Получили противоречие тоже является ЛНС. Для верно верно .

Определение. Оператор имеет простой спектр, если все характеристические числа действительные и различные.

Замечание.

, .

Пусть имеет простой спектр

- собственные числа

ЛНС базис в если оператор имеет простой спектр, то в существует базис из его собственных векторов: , …,

- диагональная матрица, матрица в базисе из собственных векторов.

Определение. Оператором оператора называется множество всех его собственных векторов (взятых столько раз, какова его кратность).

43. Определение евклидова пространства.

Определение. Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если на нем выделена симметричная положительно определенная билинейная форма.

Другими словами, на пространстве выделена билинейная форма , обладающая свойствами:

1). = ;

2). = + ;

3). для всех .

Примеры. 1). Скалярное произведение в обычном трехмерном пространстве геометрических векторов превращает его в евклидово пространство.

В общем случае эту выделенную форму на произвольном пространстве тоже будем называть скалярным произведением.

2). Пусть - арифметическое векторное пространство строк длины . Введем на скалярное произведение следующим образом. Если , , то . Легко проверить, что эта форма билинейная, симметричная и положительно определенная.

3). Пусть - линейное пространство функций, непрерывных на отрезке . Можно задать скалярное произведение в этом пространстве таким образом:

.

Длина вектора в евклидовом пространстве. Пусть - евклидово пространство со скалярным произведением .

Определение. Длиной (нормой) вектора будем называть неотрицательное действительное число

.

Заметим, что если , то . Далее, , R.

Вектор длины 1 называют нормированным. Любой вектор можно нормировать, умножив его на подходящее число, а именно для вектора имеем:

.

Неравенство Коши - Буняковского.

Теорема. Для любых векторов и справедливо неравенство

.

Доказательство. Так как скалярное произведение является положительно определенной формой, то

.

При фиксированных векторах и мы имеем квадратный трехчлен от , дискриминант которого отрицательный или равен нулю:

.

Отсюда или . Теорема доказана.

Следствие (неравенство треугольника). Для любых векторов и справедливо неравенство

.

Доказательство.

следовательно, .

Угол между векторами. Заметим, что из неравенства Коши - Буняковского следует, что

.

Это значит, что отношение является косинусом вполне определенного угла :

.

Этот угол принято считать углом между векторами.

Определение. Векторы и называются ортогональными, если угол между ними равен , т.е. .

Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Заметим, что из ортогональности векторов и следует теорема Пифагора:

.

Эту теорему можно обобщить на любое число попарно ортогональных векторов:

Задача. Докажите, что если , то векторы и ортогональны (диагонали ромба пересекаются под прямым углом).