35.Размерность линейного пространства.

Определение:Размерностью линейного пространства называется число векторов в базисе dimL=n.

Определение:пространство L называется бесконечно мерным,если система из n линейно независимых векторов

Примеры

1.Трехмерное пространство векторов - направленных отрезков. Любая тройка некомпланарных векторов образует базис. dimL=3

2.Пространство векторов-направленных отрезков на плоскости. Базис – любая пара неколлинеарных векторов на этой плоскости. dimL=2

3.L-пространство строк длины n.

Докажем,что это линейно независимая система:

1). -линейно независимы

2).Очевидно,что .

Из второго и первого следует, что -базис пространства: dimL=n

4.Пространство многочленов степени не выше n

Докажем,что это базис:

1)

В силу основной теоремы алгебры многочлен n-ой степени не может иметь больше чем n корней, следовательно уравнение выполняется только при -линейно независимы.

2)Очевидно, что любой многочлен степени <= n может быть записан в виде линейной комбинации

Из первого и второго следует,что -базис, dimL=n+1

5.C[a,b]- пространство функций, непрерывных на [a,b]. -(n+1) функция из этого пространства C[a,b], причем -линейно независимы по основной теореме.

36. Переход к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Пусть , , базисы

……………………..

Определение. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису :

Где , .

Утверждение. Матрица перехода не вырождена.

Доказательство:

.

Но - линейно-независимые векторы последнее равенство возможно тогда и только тогда, когда ,

Замечание. Матрицы и взаимно обратимы.

=

Утверждение. Пусть - координаты в базисах .

Тогда

Доказательство.

- линейно-независимая система ,

37. Определение линейного оператора. Примеры.

Определение. Пусть ставится в соответствие по некоторому закону . Тогда говорят, что на линейной поверхности определён оператор , - образ элемента , - прообраз элемента .

Если оператор обладает свойствами:

1). ,

2). , ,

то оператор называется линейным оператором (Л.О.)

Замечание:

, ,

Утверждение 1. , если - Л.О.

Доказательство:

Примеры Л.О.

1. - направленные отрезки в пространстве. , где - число. Оператор «растяжения»

2. - тождественный оператор

3. - пространство дифференцируемых функций .

- оператор дифференцирования.

4. - пространство столбцов высоты

Пусть , , - оператор умножения столбца на матрицу.

5. - направленное пространство отрезков.

- фиксированная плоскость

, - проекция вектора на плоскость .

В ыведем формулу

- единичный нормальный вектор.

6. - оператор зеркального отображения относительно .