27. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

- нормальный вектор.

? ?

(1)- уравнение плоскости

по нормальному вектору и точке.

Раскроем скобки. (2)- общее уравнение плоскости.

Замечание.

Зная уравнение плоскости (2) можно выписать нормальный вектор: .

П .2. Уравнение плоскости по трем точкам. Уравнение плоскости «в отрезках».

- не лежат на одной прямой.

, , - компланарные

уравнение плоскости по трем точкам, не лежащих на одной прямой

Пусть плоскость задана общим уравнением

(4)- уравнение плоскости «в отрезках». , ,

Геометрический смысл уравнения плоскости «в отрезках»:

28. Нормированное (нормальное) уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть известно:

1). Единичный нормальный вектор , направленный в сторону

плоскости .

2).

В ведем уравнение плоскости

Строим : ,

Пусть

Очевидно, .

Пусть - произвольная точка пространства.

Пусть

Очевидно, что если

(5)

Уравнение (5)- нормальное (нормированное) уравнение плоскости.

Определение. Пусть плоскость задана нормальным уравнением (5). Тогда выражение

называется отклонением точки от

плоскости .

Утверждение.

, если точки и лежат по разные стороны от плоскости .

- , если точки и лежат по одну сторону от плоскости .

Как привести уравнение вида (2) к уравнению вида (5)?

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда точки и лежат по разные стороны от плоскости .

Задача. Как нормировать уравнение плоскости?

Нормирующий множитель:

29. Взаимное расположение плоскостей.

1. пересекаются, но не совпадают.

не параллелен

неверно.

2.

3. , но не совпадают, , но не совпадают.

30. Каноническое уравнение прямой, параметрическое уравнение прямой, уравнение прямой по двум точкам.

Задача.

Каноническое уравнение прямой: (1)

Замечание.

Соотношение (1) понимается как пропорции.

- параметрическое уравнение прямой,

Общие уравнения прямой. Связь с каноническими уравнениями.

(4) - общие уравнения прямой

К ак, зная общие уравнения прямой, выписать канонические?

можно взять

Для того, чтобы найти фиксируем и решаем

Может оказаться, что не существует. Тогда находим . Если таких не существует, то фиксируем .

Обязательно один из трёх вариантов , или .

Точка найдется. Знаем .

31. Взаимное расположение прямых.

Две прямые в пространстве.

1 . ,

2.

3.

4. Скрещиваются

Случай 4. реализуется некомпланарны

- общий перпендикуляр,

и

33. Определение линейного пространства. Примеры.

Определение 1. Множество элементов любой природы с введенными на этом множестве ограничениями:

1). Сложение элементов ,

2) умножение элемента на действительное число

называется линейным пространством.

1.

2.

3.

4.

5.

6. где - ненулевой элемент.

7. - противоположный элемент.

8.

Здесь - произвольные элементы (векторы) нашего множества , - произвольные действительные числа.

Замечание: На одном и том же множестве можно вводить операции различными способами, необходимо только, чтобы , и выполнялись 8 аксиом, при этом будем получать различные линейные пространства.

Утверждение 1. Нулевой элемент единственный.

Доказательство:

Пусть есть , тогда

Утверждение 2. Противоположный элемент единственный.

Доказательство.

Пусть

Примеры.

1.

2. Множество трехмерных векторов- направленных отрезков.

- по правилу трехгранника или параллелограмма.

8 аксиом выполняются.

3. ( строк, столбцов).

Множество матриц порядка

как обычно, как обычно. Это есть линейные пространства.

4. Множество многочленов степени

- обычные алгебраические операции.

Это есть линейное пространство.

5. Множество непрерывных функций на отрезке .

- обычные алгебраические операции.

8 аксиом выполняются.

Это есть линейное пространство.

34. Линейная зависимость и независимость векторов в линейном пространстве. Базис в линейном пространстве. Координаты вектора в базисе.

Базис в линейном пространстве.

Опр1. Пусть .L-линейное пространство. Сумма вида называется линейной комбинацией векторов коэффициенты линейных комбинаций.

Опр2. Элементы линейного пространства L называются линейно зависимыми, если

в противном случае линейно независимы.

Опр3 Элементы линейного пространства L образуют базис, если 1) линейно зависимы;2) последнее равенство разложение элемента x по базису числа. -координаты вектора x в базисе .

Утверждение 1

Пусть -линейно зависимые вектора, тогда один из них выражается в виде линейной комбинации других.

Доказательство.

-линейно зависимые.

пусть

Утверждение 2

Пусть хотя бы один из элементов тогда система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть для определенности линейно зависимые вектора. Составим линейную комбинацию вида

можно сделать равной 0 подобрав линейно зависимые.

Теорема1

Координаты вектора в базисе определяется однозначно.

Доказательство

-базис в L Предположим, что сущ. два разложения элемента x по базису e:

но вектора -линейно независммы(т.к. e-базис)

Следствие.

Два элементы линейного пространства равны между собой (совпадают). Т. и т. т.к совпадают их соответственные координаты в одном и том же базисе.

Теорема 2

При сложении элементов линейного пространства их соответствующие координаты складываются. При умножение элемента на число его координаты умножаются на это число.

Теорема 3

Пусть -базис в линейном пространстве L, тогда любая система из большого, чем n, числа векторов- линейно зависимы.

Доказательство

Рассмотрим производную систему m>n числа векторов . Разложим каждый вектор f по базису e:

напишем некоторые линейную комбинацию докажем, что можно подобрать так, что такая линейная комбинация = .

линейно зависимые =необходимо

из n уравнений относительно m неизвестных m>n

Такая система уравнений имеет нетривиальное(т.е. не нулевое) решение

линейно зависимы

Теорема4

Все базисы в линейном пространстве L состоят из одного и того же числа векторов.

(базис) (базис)

не может быть

Опр4

Размерностью линейного пространства называется число векторов в базисе.

Опр5

Пространство называется бесконечномерным, если для любого n существует система из n линейно независимых векторов.