3. Поширення електромагнітних хвиль та імпульсів у лініях

Лінії електропередачі являють собою електричні ланцюги з розподіленими параметрами, в яких струм і напруга безупинно змінюються при переході від однієї точки до іншої [5].

Струм у проводах лінії викликає спадання напруги в активному опорі про-водів і створює змінне магнітне поле, що, у свою чергу, наводить ЕРС самоін-дукції, що змінюється уздовж лінії. У зв'язку з цим напруга між проводами також не залишається постійною. Таким чином, у лінії з розподіленими параметрами кожний скільки завгодно малий елемент довжини лінії має опір R й індук-тивність L, а між проводами - ємність C і провідність G.

Співвідношення між інтервалами часу поширення електромагнітних хвиль уздовж всієї довжини лінії й інтервалом часу, протягом якого струм і напруга змінюються на помітну величину від повної їхньої зміни в розглядуваному про-цесі, можна розглядати як критерій, що визначає вид електричного ланцюга. Коли ці інтервали часу порівнянні, то лінію розглядають як електричний ланцюг з розподіленими параметрами. Струми й напруги в таких ланцюгах є функціями двох незалежних змінних: часу t і координати x, відлічуваної уздовж лінії [5].

В електричній лінії з розподіленими параметрами поздовжні опори утво-рені активними опорами проводів лінії та індуктивностями двох конфронтуючих один одному ділянок лінії довжиною dx, а поперечні опори - опорами витоку ізоляції між проводами лінії і ємностями, утвореними конфронтуючими один одному елементами лінії довжиною dx.

Якщо в електричній лінії з розподіленими параметрами всі поздовжні опори ділянок лінії однакової довжини рівні один одному, а також поперечні опори цих же ділянок лінії рівні один одному, то така лінія називається однорідною. Таким чином, в однорідній електричній лінії опір, індуктивність, провідність й ємність рівномірно розподілені уздовж всієї лінії.

Довгу електричну лінію можна представити у вигляді безлічі з'єднаних послідовно нескінченно малих елементів довжиною dx, кожний з яких має опір R_odx, індуктивність L_odx, провідність G_odx й ємність C_odx (рис.3.1). Опір R_odx й індуктивність L_odx вважаємо включеними в один провід.

Рис. 3.1 - Еквівалентна схема довгої електричної лінії

Для елемента лінії довжиною dx на підставі закону Кірхгофа можна записати

; (3.1)

,

де х - відстань від початку лінії до поточного елемента її довжини;

u й i - миттєві значення напруги й струму на початку обраного елемента лінії dx;

і - миттєві значення напруги й струму на початку наступного елемента лінії dx. Тут й є швидкості зміни напруги й струму в часі у напрямку х, які після помноження на dx дають відповідно збільшення напруги й струму на шляху dx.

У зв'язку з наявністю двох незалежних змінних x й t рівняння записуються в частинних похідних [5].

Знехтуючи величинами другого порядку малості й скорочуючи на dx, одержуємо рівняння для однорідної лінії з розподіленими параметрами:

; . (3.2)

Якщо за початок відліку прийняти кінець лінії, тобто ввести координату х', то рівняння набуває вигляду

; . (3.3)

Вирішення рівнянь (3.2) і (3.3) у частинних похідних при певних початкових і граничних умовах дає можливість визначити напругу й струм як функції відстані від початку (кінця) лінії й часу. Початковими умовами будуть значення напруги й струму на початку (кінці) лінії в момент часу, прийнятого за нуль. Граничні умови визначаються зв'язками між напругою й струмом на початку (кінці) лінії, що залежать від заданого режиму роботи лінії.

У комплексній формі рівняння (3.2) має вигляд

; (3.4)

,

де Z_{o ,} Y_o – відповідно комплексний опір і комплексна провідність одиниці довжини лінії. Слід мати на увазі, що тут Z_o й Y_o не є величинами, зворотними одна одній.

Після диференціювання рівняння (3.4) і відповідних перетворень одержимо однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку:

; . (3.5)

Тому що ці рівняння однакові, то достатньо знайти закон зміни, наприклад, напруги, а струм одержати з рівняння (3.4).