3.2. Статистичні методи оцінювання продуктивності факторів виробництва

Статистична залежність обсягів продукції від кількості використаних ресурсів називається виробничою функцією. Зазвичай такі залежності представляються у формі лінійної адитивної або степеневої мультиплікативної моделі, тобто у загальному вигляді:

, (3.1)

, (3.2)

де Q – обсяги продукції за певний період (рік);

Р_і – продуктивність і-го виробничого фактора;

х_і – затрати і-го виробничого ресурсу;

р_і – еластичність (гранична продуктивність) і-го виробничого ресурсу;

– види ресурсів (виробничих факторів).

При відомих значеннях обсягів виробництва (Q) і використаних ресурсів (х_і) за ряд періодів (років) можна визначити статистичні параметри стохастичної моделі, в тому числі середню (Р_і) і граничну (р_і) продуктивність кожного виробничого фактора.

Очевидно, що адитивні лінійні моделі є простішими, ніж мультиплікативні. Але вони мають істотний недолік: теоретично, за формулою 3.1 нульовому значенню певного ресурсу (наприклад, при відсутності праці) можуть відповідати значно більші від нуля обсяги продукції (Q>0), що суперечить дійсності. В цьому сенсі мультиплікативні моделі досконаліші.

Найпоширенішою мультиплікативною моделлю є виробнича функція Кобба-Дугласа:

, (3.3)

де Q – обсяги виробництва (ВВП або додана вартість), гр.од.;

К – виробничий капітал, гр.од.;

L – затрати праці, люд.-год.;

е – основа натурального логарифма;

А – статистичний коефіцієнт;

r – фактор прогресу у використанні виробничих ресурсів (К і L);

t – час (порядковий рік);

 і β – коефіцієнти еластичності приросту обсягів продукції при збільшенні на одиницю відповідно капіталу (К) і праці (L).

Коефіцієнти еластичності  і β за економічним змістом є граничною продуктивністю капіталу (р_К) і праці (р_L), тобто =р_К і β=р_L, а співвідношення між ними – нормою заміщення одного фактора іншим.

Статистичні дослідження функції Кобба-Дугласа проводилися авторами (Коббом і Дугласом) та їх послідовниками впродовж багатьох років у різних країнах (США, Великобританія, Німеччина, Франція). В результаті досліджень встановлено: 1) коефіцієнт А є близьким до одиниці (А=1,01) і тому його можна вилучити з формули 3.3; 2) коефіцієнти еластичності  і β приблизно рівні часткам відповідно фонду накопичення і фонду споживання у розподілі національного продукту і в сумі дорівнюють приблизно одиниці, тобто (+β)≈1,0. Якщо  дещо більший від частки фонду накопичення, то це означає, що відбувається розширене відтворення капіталу. Загалом, при (+β)>1 обсяги продукції зростають завдяки інтенсифікації використання виробничих ресурсів, а при (+β)1 – завдяки розширенню (екстенсифікації) виробничої бази.

Якщо А≈1, то формула 3.3 спрощується і має такий вигляд:

. (3.4)

На основі цієї формули можна визначити показники продуктивності факторів виробництва – капіталу (р_К) і праці (р_L):

, (3.5)

. (3.6)

За умови, що (+β)≈1,0, формули 3.5, 3.6 набувають такого виду:

, (3.7)

. (3.8)

Параметри моделі 3.4 (, β, r) можна визначити статистично, перетворивши її в лінійну логарифмічну функцію:

lnQ =  lnK + β lnL + rt. (3.9)

При відомих статистичних даних про Q, К, L за ряд років, визначаються їх логарифми і після кореляційно-регресійного аналізу – конкретні значення параметрів , β, r.

В результаті диференціювання рівняння 3.9 виходить досить проста для статистичного висліду і практичного застосування залежність приросту обсягів виробництва (q) від приросту факторів виробництва і їх граничної продуктивності:

q = k + βl + r (3.10)

або q = р_Кk + р_Ll + r, (3.11)

де q – приріст обсягів продукції, %;

k і l – прирости виробничого капіталу і затрат праці, %;

r – фактор „прогресу”, %;

р_К і р_L – продуктивність відповідно долученого (приросту) капіталу і праці.

Окрім статичного визначення показників факторної продуктивності (=р_К; β=р_L), формула 3.10 є корисною для оцінювання впливу „м’яких” факторів на обсяги виробництва – використання менеджерами досягнень технічного прогресу і ефективних методів управління виробництвом (див. приклад з розд. 1.3).

Попри світову наукову популярність виробнича функція Кобба-Дугласа має недоліки, які проявляються при її статистичних дослідженнях. По-перше, фактори виробництва вимірюються у неспівставних одиницях: капітал – у грошових одиницях, які непорівнянні у різних національних валютах, а праця – у людино-годинах. Цей недолік усувається в певній мірі при застосуванні формули 3.10, оскільки одиниці вимірювання факторів виробництва істотно не впливають на відносну величину їх приросту. По-друге, праця (L) виражається у затратах робочого часу, а капітал (К) – за його загальною вартістю, яка, як відомо, переноситься частинами на вартість продукції. Тому в економетричних моделях варто було б включати не весь капітал (К), а лише спожитий (К_С), який виражається відповідною сумою амортизації. По-третє, в моделі Кобба-Дугласа не враховується оборотний капітал, затрати матеріально-енергетичних ресурсів, без яких неможливе виробництво будь-якої продукції і надання послуг.

Для усунення зазначених та інших недоліків можна скористатися такою модифікацією (варіантом) виробничої функції Кобба-Дугласа:

, (3.12)

де Q_в – випуск продукції у фактичних цінах, грн.;

К_с – спожитий основний капітал (зношення і списання основних засобів), грн.;

L_з – затрати праці у вартісному вираженні (зарплата та інші витрати на робочу силу), грн.;

С_п – проміжне споживання (затрати на матеріально-енергетичні ресурси і послуги сторонніх організацій), грн.;

γ – коефіцієнт еластичності (гранична продуктивність) матеріально-енергетичних та інших ресурсів – проміжного споживання.

Аналогічно до 3.10 і 3.11, приріст обсягів продукції у фактичних цінах (q_в) за моделлю 3.12. визначається за формулою:

q_в = k_с + βl_з + γс_п + r (3.13)

або q_в = р_Кk_с + р_Ll_з + р_мс_п + r, (3.14)

де с_п – приріст проміжного споживання, %;

р_м – гранична продуктивність матеріально-енергетичних ресурсів, грн./грн.

Зберігаючи загальний економічний зміст виразу 3.12, лінійну адитивну модель можна представити у такому виді:

q_в = р_Кk_с + р_Ll_з + р_мс_п + rt, (3.16)

де р_м – продуктивність матеріально-енергетичних та інших ресурсів, грн./грн.

Необхідні дані для статистичного визначення показників продуктивності в моделях 3.14 і 3.15 є об’єктами обліку та звітності за чинними стандартами і, відтак, доступними для моделювання на макро-, мезо- і мікрорівнях суспільного виробництва.

Основний і загальний недолік статистичних методів полягає в тому, що показники факторної продуктивності є середньостатистичними і приблизними з характерними для кореляційно-регресійних моделей методичними похибками. Натомість особливої уваги заслуговують такі позитивні аспекти розглянутих методів оцінювання факторної продуктивності. По-перше, лише завдяки статистичним моделям можна оцінити вплив „м’яких” чинників (фактора „прогресу” r) на загальну продуктивність виробничих ресурсів. По-друге, на основі отриманих коефіцієнтів еластичності (, β, γ) можна визначити норми заміщення одного ресурсу іншим як відповідні співвідношення між ними. Наприклад, якщо β удвічі більша від , то кожна одиниця праці адекватна двом одиницям капіталу. Такі норми заміщення можна використати для приведення різних видів ресурсів до „спільного знаменника” при застосуванні аналітичних методів вимірювання факторної продуктивності (див. розд. 3.3). Окрім зазначеного, виробничі функції є важливим методичним інструментарієм прогнозування обсягів продукції і регулювання структури виробничих ресурсів – особливо на макро- і мезорівнях національної економіки.