Лабораторная работа №1
Тема: Системы счисления
Цель работы: Изучить основные положения о системах счисления, способы представления чисел в различных системах, перевод чисел из одних систем счисления в другие и обратно.
ПОЯСНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ: Системой счисления называют способ записи и наименования чисел с помощью специальных символов, называемых цифрами. Системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления любое число можно записать в так называемой позиционной(поразрядной) форме. В непозиционной системе счисления позиционная форма записи невозможна.
В качестве примеров позиционных систем счисления можно назвать двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную системы счисления. Названия эти системы получили от числа(основание системы счисления) цифр, которые используются для записи цифр. Так в двоичной системе для записи цифр используются две цифры(0,1), в восьмеричной – восемь(0,1,2,3,4,5,6,7), в десятичной – десять(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), а в шестнадцатеричной в качестве первых десяти цифр используются те же, что и в десятичной системе(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), для обозначения остальных шести цифр (10,11,12,13,14,15) используются буквы латинского алфавита – А,B,C,D,E,F по вполне понятным причинам. Покажем, что, скажем, десятичная система является позиционной. n-значное число abc…m, где в качестве a, b, с и m понимается одна из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, как известно со школьной программы может быть записано в виде
abc…m = a*10n-1+b*10n-2+c*10n-3+…+m*100,
что и называется позиционной записью числа. Так же можно представить числа и в других приведенных выше системах счисления. Однако такая запись невозможна, в римской системе счисления. Поэтому она является примером непозиционной системы счисления.
В некоторых случаях бывает нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Это, в частности, нужно при кодировке информации в вычислительной технике, так как информация в памяти компьютера хранится в двоичных кодах.
Чтобы
перевести целое положительное десятичное
число в систему счисления с основанием
,
нужно это число разделить на
с остатком. Полученное неполное частное
снова разделить на
и т.д., до тех пор, пока неполное частное
не окажется меньше
.
Тогда для записи исходного числа в
системе с основанием
получится следующим образом: сначала
записывается последнее неполное частное,
а за тем все остатки, начиная с последнего.
Перевод дробной части десятичного числа в систему счисления с основанием начинается с последовательного умножения дробной части этого числа на с выделением и последующим отбрасыванием целой части. Этот процесс продолжается до того момента пока не будет известен период. Запись числа в требуемой системе счисления состоит из выделенных целых частей с первой до последней с указанием периода.
Например, пусть десятичное число 75,625 нужно перевести в двоичную систему счисления. Имеем
75 : 2 = 37 ост 1 0,625 * 2 = 1,25
37 : 2 = 18 ост 1 0,25 * 2 = 0,5
18 : 2 = 9 ост 0 0,5 * 2 = 1,0
9 : 2 = 4 ост 1
4 : 2 = 2 ост 0
2 : 2 = 1 ост 0
Таким
образом,
.
Обратный
переход из системы счисления с основанием
в десятичную систему счисления основан
на использовании позиционной записи.
Так число
в позиционной записи имеет вид
Производя арифметические операции в левой части, легко получаем 75,625.
Перевод десятичных чисел в шестнадцатиричные и обратно основан на тех же правилах, что и для двоичных чисел. Ниже это продемонстрировано на примере с десятичным числом 638,526:
638 : 16 = 39 остаток 14(Е) 0,526 * 16 = 8,416
39 : 16 = 2 остаток 7 0,416 * 16 = 6,656
0,656 * 16 =10,496 (А)
0,496 * 16 = 7,936
и так далее.
638,526
27E,86A7
(10) (16)
Упражнение 1.
┌────┬──────────────────────────┬────┬──────────────────────────┐
│Ва- │ Преобразовать десятичное │Ва- │ Преобразовать десятичное │
│ри- │ (и обратно) в: │ри- │ (и обратно) в: │
│ант ├─────────────┬────────────┤ант ├────────────┬─────────────┤
│ │ двоичное │ 16-ричное │ │ двоичное │ 16-ричное │
├────┼─────────────┼────────────┼────┼────────────┼─────────────┤
│ 1 │ 64,564 │ 167,35 │ 8 │ 34,212 │ 856,235 │
│ 2 │ 123,234 │ 776,53 │ 9 │ 45,56 │ 954,34 │
│ 3 │ 87,88 │ 234,77 │ 10 │ 112,99 │ 703,307 │
│ 4 │ 89,672 │ 125,345 │ 11 │ 29,255 │ 542,78 │
│ 5 │ 101,34 │ 678,12 │ 12 │ 69,96 │ 178,16 │
│ 6 │ 61.161 │ 105,78 │ 13 │ 71,291 │ 456,63 │
│ 7 │ 55,55 │ 222,33 │ 14 │ 77,056 │ 401,074 │
Упражнение 2
№ |
Переведите римскую(арабскую) запись в арабскую(римскую) |
№№ |
Переведите римскую(арабскую) запись в арабскую(римскую) |
||
1 |
LXX |
98 |
8 |
XXL |
45 |
2 |
CXI |
105 |
9 |
CVIII |
89 |
3 |
XCV |
190 |
10 |
LXV |
305 |
4 |
XXIX |
506 |
11 |
CLIV |
1005 |
5 |
MCM |
214 |
12 |
XLIII |
211 |
6 |
LXII |
76 |
13 |
MXV |
75 |
7 |
MDL |
32 |
14 |
CLX |
113 |