2. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью.

Пусть требуется найти с точностью ε значение , где a>0, m – натуральное.

Известен следующий рекуррентный (итерационный) процесс нахождения членов последовательности t₀, t₁, t₂, …, где

, n = 0, 1, 2, … . (6)

При этом оказывается [4], что полученная последовательность сходится при любом t₀>0 к точному значению и при том достаточно быстро.

Удобно в качестве t₀ брать значение с одной верной значащей цифрой, которую легко найти подбором.

Итерационный процесс нахождения очередного приближения к величине корня прекращается, как только выполнится неравенство . При этом с точностью ε.

Пример 5. Найти с точностью ε = 0,000001 (или ε = 10^-6).

Решение. Здесь a = 1,25, ε = 10^-6. Пусть t₀ = 1,1 (т.к. 1,1²≈1,25). Из формулы (6) при m = 2 имеем:

, n = 0, 1, 2, … .

Значит . Так как требуется найти значение корня с точностью ε = 10^-6, т.е. с шестью верными значащими цифрами после запятой, при вычислении t₁ количество цифр после запятой берем с запасом (например, семь цифр).

Аналогично вычисляем t₂ = 1,1180339…; . Продолжаем итерационный процесс: t₃ = 1,1180339… . Итак, на третьем шаге (итерации) результат в требуемых знаках (шесть цифр после запятой) повторился, т. е. .

Значит, с точностью 10^-6.

3. Практикум. Численные методы решения нелинейных уравнений.

В заданиях данной группы нужно выбрать правильные ответы из приведенного списка. Обратите внимание, что правильный ответ может быть не единственным. Вам надо указать через запятую буквы соответствующие правильным высказываниям.

1. Какие из следующих функций являются трансцендентными?

1. у = ln2x.

2. y = kx+b.

3. y = sinx.

4. у=х⁴.

2. Поиск корней методом половинного деления применим к функциям:

1. к многочленам любых степеней.

2. к непрерывным, но не дифференцируемым функциям.

3. к функциям, имеющим разрывы.

4. любым непрерывным.

3. Отметьте высказывания, относящиеся к поиску корней методом половинного деления:

1. Существуют уравнения, для которых есть только численное решение и нет аналитического.

2. Это самый быстрый метод поиска корней.

3. Это самый точный метод.

4. Это один из самых простых вычислительных методов поиска корней уравнения

5. Этот метод не требует дополнительных условий сходимости.

6. Этим методом можно искать корни многочленов любых степеней.

В заданиях данной группы нужно выбрать правильный ответ из приведенного списка. Обратите внимание, что правильный ответ должен быть единственным

4. Решить уравнение, значит

1. найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество;

2. доказать, что таких значений неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество нет;

3. найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество или доказать, что корней нет;

4. найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в верное тождество и доказать, что корней нет.

5. Для какой из приведенных ниже функций y = f(x) уравнение f(x) = 0 не имеет корней

a) b)

c) d)

6. Отделение корней уравнения f(x)=0 – это

1. нахождение интервалов длиной ε из области определения функции y=f(x);

2. нахождение корней из области определения функции y=f(x);

3. нахождение интервалов с одним корнем вне области определения функции y=f(x);

4. нахождение интервалов из области определения, в каждом из которых содержится ровно один корень.

7. Какая из этих формул верна и применяется в методе деления отрезка пополам для определения достижения точности?

1. b-a ≤ ε.

2. b-a ≤2ε.

3. a-b ≤2ε.

4. b-a ≥2ε.

8. Какая из этих формул верна и применяется в методе деления отрезка пополам для определения X – приближённого значение корня на отрезке [a; b]?

1. X = a + b.

2. X = (b - a)/2.

3. X = (a + b)/2.

4. X = (a - b)/2.

9. Аналитическое отделение корней уравнения f(x) = 0 основано на теореме:

1. если функция f(x) непрерывна на [a,b], принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

2. если f '(x) существует и непрерывна, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

3. если функция f(x) принимает на концах отрезка [a,b] значения разных знаков, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

4. если f '(x) непрерывна и меняет знак на [а,b], то на этом отрезке содержится хотя бы один корень.

10. Необходимым условием сходимости метода касательных при решении уравнения у = f(x) является:

1. f(x) непрерывна на [a,b] и сохраняет на нем свой знак;

2. f '(x) существует и сохраняет знак;

3. f(x) и f '(x) непрерывны на [a,b] и сохраняют знак;

4. f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке [a,b], f '(x) непрерывна и сохраняет знак на отрезке [a,b].

11. Укажите интервал изоляции корня уравнения .

1. [0; 2]

2. [-2; 0]

3. [1; 3]

4. [-0,5; 0]

12. Какому графику соответствуют условия , , , , ?

a) b)

c) d)

13. Известно, что уравнение имеет три корня. Минимальное количество начальных точек, определяющих отрезки изоляции корней, для полного решения методом половинного деления:

1. 2

2. 6

3. 4

4. 3

В заданиях данной группы нужно вписать числовой ответ или дополнить предложение.

14. Дано нелинейное уравнение x²sinx + 1 = 0 и начальное приближение x₀ = 3,3. Первое приближение x₁ в методе Ньютона равно (ответ округлить до трех знаков после запятой) ____________.

15. Дано уравнение x²sinx + 1 = 0. Известно, что на отрезке [3,2; 3,5] существует единственный корень уравнения. После выполнения одного шага методом деления отрезка пополам, отрезок станет равен _____________________________.

Ответы.

1	2	3
a, c	a, b, d	d, e, f

4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
c	b	d	b	c	a	d	b	a	c

14	15
3,239	[3,2; 3,35]