Работа Бисекция
.docМосковский государственный институт электроники и математики
(технический университет)
Работа №1
по дисциплине «Вычислительная математика»
Выполнил:
студент группы С-34
Рыбин И. С.
___________
Проверил:
Прокофьев И.В.
__________
2004 г.
Исследование функции.
F(x)=(x-17)3 + 3(x-17)2-2
Определена и непрерывна на (-∞; +∞)
Производная
F’(x)=3(x-17)2+ 6(x-17)=(x-17)(3x-51+6)=(x-17)(3x-45)=3(x-17)(x-15)
F(x) возрастает на (-∞; 15)U(17; ∞), убывает на (15;17)
Метод половинного деления.
i |
Ai |
Bi |
Ci |
f(Ci) |
1 |
17 |
18 |
17.5 |
-1.125 |
2 |
17.5 |
18 |
17.75 |
0.11 |
3 |
17.5 |
17.75 |
17.625 |
-0.58 |
4 |
17.625 |
17.75 |
17.6875 |
-0.257 |
5 |
17.6875 |
17.75 |
17.71875 |
-0.078 |
6 |
17.71875 |
17.75 |
17.734375 |
0.01 |
7 |
17.71875 |
17.734375 |
17.7265625 |
-0.03 |
8 |
17.7265625 |
17.734375 |
17.73046875 |
-9.47*10^-4 |
9 |
17.73046875 |
17.734375 |
17.73242188 |
2.22*10^-4 |
10 |
17.73046875 |
17.73242188 |
17.73144531 |
-3.63*10^-4 |
11 |
17.73144531 |
17.73242188 |
17.7319336 |
-7*10^-4 |
12 |
17.7319336 |
17.73242188 |
17.73217774 |
7.6*10^-4 |
13 |
17.7319336 |
17.73217774 |
17.73205567 |
2.9*10^-5 |
14 |
17.7319336 |
17.73205567 |
17.73199463 |
-3.3*10^-4 |
15 |
17.73199463 |
17.73205567 |
17.73202515 |
-1.5*10^-4 |
16 |
17.73202516 |
17.73205567 |
|
|
Метод линейной интерполяции (метод хорд, метод пропорциональных частей)
С=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a))
Метод хорд
A0 = 17 |
B0 = 18 |
f(A0)= -2 |
f(B)0 = 2 |
C0 = 17.5 |
A1 = 17.5 |
B1 = 18 |
f(A1) = -1.125 |
f(B)1 = 2 |
C1 = 17.68 |
A2 = 17.68 |
B2 = 18 |
f(A2) = -0.298368 |
f(B)2 = 2 |
C2 = 17.721541546001 |
A3 = 17.721541546001 |
B3 = 18 |
f(A3) = -0.062482843231059 |
f(B)3 = 2 |
C3 = 17.729977434806 |
A4 = 17.729977434806 |
B4 = 18 |
f(A4) = -0.017417907881149 |
f(B)4 = 2 |
C4 = 17.731643647041 |
A5 = 17.731643647041 |
B5 = 18 |
f(A5) = -0.0024421018155636 |
f(B)5 = 2 |
C5 = 17.731970924188 |
A6 = 17.731970924188 |
B6 = 18 |
f(A6) = -0.0004792671286391 |
f(B)6 = 2 |
C6 = 17.732035137563 |
A7 = 17.732035137563 |
B7 = 18 |
f(A7) = -9.4018760130599E-005 |
f(B)7 = 2 |
C7 = 17.732047733833 |
A8 = 17.732047733833 |
B8 = 18 |
f(A8) = -1.84423674221E-005 |
f(B)8 = 2 |
C8 = 17.732050204647 |
A9 = 17.732050204647 |
B9 = 18 |
f(A9) = -3.6175289013229E-006 |
f(B)9 = 2 |
C9 = 17.732050689304 |
Метод касательных
Xn+1=Xn-F(Xn)/F’(Xn)
F(x)=(x-17)3 + 3(x-17)2-2
F’(x)=3(x-17)2+ 6(x-17)=(x-17)(3x-51+6)=(x-17)(3x-45)=3(x-17)(x-15)
Xn |
F(Xn) |
F’(Xn) |
Xn+1 |
17.5 |
-1.125 |
3.75 |
17.8 |
17.8 |
0.432 |
6.72 |
17.735 |
17.735 |
0.0177 |
6.03 |
17.732 |
17.732 |
-0.0003 |
6 |
17.732 |
Метод итерации.
F(x)=(x-17)3 + 3(x-17)2-2
F(x)=0
(x-17)3 + 3(x-17)2=2
(x-17)2(x-17+3)=2
(x-17)2=2/(x-14)
x-17=√(2/(x-14))
x=√(2/(x-14))+17
Xn+1=√(2/(Xn-14))+17
X1=√(2/3)+17= 17.8164
X2=√(2/3.8164)+17= 17.7239
X3=√(2/3.7239)+17= 17.7328
X4=√(2/3.7328)+17= 17.7319
X5=√(2/3.7319)+17= 17.732
X6=√(2/3.732)+17= 17.732
X7=√(2/3.732)+17= 17.732
Сравнение эффективности методов.
-
Наиболее универсальным является метод половинного деления (он требует только непрерывности функции). Другие методы накладывают более сильные ограничения.
-
Метод половинного деления на каждом шаге дает для корня уравнения двустороннюю оценку, по которой легко определить достигнутую точность. Сходимость метода итераций или касательных зависит от того, на сколько удачно выбрано нулевое приближение.
-
Наибольшей скоростью сходимости обладает метод касательных
Выбор метода существенно зависит от того, какая дополнительная информация о функции имеется, и в соответствии с этим, каким свойствам метода придается наибольшее значение