Вычислительная математика

Домашняя работа

I.Элементарная теория погрешностей

1. Выполнить последовательные округления следующих чисел: 2,75464; 3,14159; 0,56453; 4,1945; 0,60653.

2. Округляя следующие числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений: 1,1426; 0,01015; 0,1245; 921,55; 0,002462.

3. Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их относительной погрешности: ; ; ; ; .

4. Определить количество верных значащих цифр для следующих приближенных чисел: ; ; ; ; .

5. По меньшим предельным относительным погрешностям определить, какое из равенств точнее: или ; или ; или ; или ; или .

6. Округлить сомнительные цифры чисел: ; ; если .

7. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности приближенных чисел, заданных только верными цифрами: ; .

8. Со сколькими верными значащими цифрами надо взять результаты указанных ниже операций, чтобы их предельные относительные погрешности не превышали: 0,1%? ; ; ; ; .

9. Оценить результаты вычислений выражений, если все операнды заданы со всеми верными цифрами: ; ; ;

10. Пользуясь правилами подсчета цифр, вычислить: ;

II.Методы решения нелинейных уравнений

1. Отделить корни аналитически и уточнить их до 0,001 методом проб: ; ; ; ; ; .

2. Отделить корни графически и уточнить их до 0,001 методом хорд: ; ; ; ; ;

3. Методом касательных с точностью до 0,001 найти корни уравнений: ; ; ; ; ;

4. Комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0,001 найти корни уравнений: ; ; ; ; ;

5. Пользуясь методом Штурма, отделить корни уравнений и уточнить их до 0,001 методом итерации: ; ; ;

6. Методом итерации найти корни уравнений с точностью до 0,001: ; ; ; ;

7. Используя метод Хичкока выделения квадратного множителя, найти с пятью верными цифрами корни уравнений: ; ;

III.Методы решения систем линейных уравнений

1. Решить системы уравнений с привлечением формул Крамера:

2. Решить следующие системы по схеме Гаусса:

3. С точностью до 0,001 решить системы по схеме Гаусса:

4. Вычислить определители по схеме Гаусса:

5. Решить следующие системы уравнений с точностью до 0,01 методом последовательных приближений, предварительно определив шагов:

6. Системы линейных уравнений пункта 4 решить методом Зейделя, предварительно определив необходимое число шагов.

IV.Интерполирование и экстраполирование

1. Функцию f (),заданную таблично, определить в точке =1,5228 с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона.

	1,522	1,523	1,524
f ()	20,477	20,906	21,354

2. С помощью второй интерполяционной формулы Ньютона определить значение функции f () в точке =1,5303 если:

	1,529	1,530	1,531
f ()	23,911	24,498	25,115

3. 	-2	-1	2	3
   f ()	-12	-8	3	5

   Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f (),заданной таблично:
   
   

4. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции ,если узлами интерполяции служат точки ,,.Оценить погрешность при =1,5.

5. Для функции f (),заданной таблично составить таблицу конечных разностей:

   	-2	-1	0	1	2	3
   f ()	10	5	1	-15	-50	-100

6. Для функции f (),заданной таблично составить таблицу разделенных разностей:

   	-3	-1	0	2	3
   f ()	-15	-7	1	25	47

7. Пользуясь формулой Гаусса, вычислить значение функции f () в точке =1,34627,если:

   	1,335	1,340	1,345	1,350	1,355	1,360
   f ()	4,16206	4,25562	4,35325	4,45522	4,56184	4,67344

8. Для функции f (),заданной таблично определить значение аргумента, соответствующее значению функции 0,892914.

   	1,435	1,440	1,445
   f ()	0,892687	0,893698	0,894700

9. Методом обратного интерполирования найти с точность до 10^-5 корень уравнения , лежащий в интервале .

10. Методом экстраполяции определить значение функции f () в точке =1970, если известно что:

    	1966	1967	1968	1969
    f ()	581	602	625	635

11. Представить аналитически табулированную зависимость:

	1966	1968	1969
f ()	17	21	23

V.Математическая обработка данных

1. Подобрать эмпирическую зависимость в заданном интервале функции и найти параметры методом наименьших квадратов

	1970	1971	1972	1973
f ()	623	676	746	829

2. Аппроксимировать функцию, заданную таблицей, зависимостью и найти параметры методом наименьших квадратов.

	1	2	3	4	5
f ()	2,9	8,9	19,1	33,2	50,8

3. Представить функцию, заданную таблично, трехпараметрической зависимостью и подобрать коэффициенты методом выбранных точек.

	1950	1960	1965	1970
f ()	101	106	126	142