§ 4. Симметричная разностная схема.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в чисто неявной схеме. Эта схема использует шеститочечный шаблон в, изображенный на последнем рисунке в.

Эта схема имеет второй порядок аппроксимации как по h, так и по , она абсолютно устойчива и ее можно решать методом прогонки.

38. Задача Дирихле для уравнения Пуассона. Разностная схема "крест". Реализация рс с помощью методов Якоби и Зейделя. Постановка краевой задачи в прямоугольнике.

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: найти непрерывную в функцию , удовлетворяющую уравнению

и граничному условию

Где - прямоугольник,

– его граница, , - заданные функции. При получаем задачу Дирихле для уравнения Лапласа

§ 2. Дискретизация задачи. Построение рс "крест". Ее шаблон.

Введем в G прямоугольную сетку с шагами , по направлению , и — по направлению , так что , , где и — целые числа. Обозначим . Сетка состоит из совокупности узлов . Для функций у, определенных на Q, обозначим

Задаче Дирихле (11.1) сопоставим следующую разностную схему:

(11.2)

§ 3. Решение сеточных уравнений.

Модельная задача, положим в (11.1) .

Отметим, что каждое уравнение системы (11.2) для модельной задачи содержит не более пяти отличных от нуля коэффициентов. Мы имеем дело с так называемой сильно разреженной матрицей системы. Причём, ненулевые коэффициенты сосредоточены рядом с главной диагональю матрицы.

Метод простой итерации для дискретизации модельной задачи:

Можно показать, что метод Якоби требует итераций для достижения заданной точности. Это очень медленная сходимость. В настоящее время применяются методы, требующие и даже итераций для достижения той же точности.

Рассмотрим метод Зейделя для дискретизации модельной задачи. В общем случае Реализация метода Зейделя для приводит к следующему итерационному методу:

Хотя метод Зейделя является неявным, нахождение значений на новой итерации не представляет труда, поскольку оно сводится к обращению треугольной матрицы. Здесь нужно лишь правильно установить последовательность проведения вычислений.

Сначала из уравнения (11.3), используя известные граничные значения и , находят . Зная , можно найти и т. д. Таким образом, неизвестные вычисляются в следующем порядке изменения индексов: (1,1), (1,2),..., (1,N-1), (2, 1), (2, 2),..., (2, N-1), .... (N-1, 1), (N-1, 2),..., (N-1, N-1). В этом случае говорят, что вычисления ведутся от левого нижнего угла прямоугольника G к правому верхнему углу.

Можно показать, что метод Зейделя сходится несколько быстрее, чем метод Якоби, однако число итераций, необходимое для достижения заданной точности, здесь также является величиной порядка .