2. Рівняння Бернулі для елементарної струмини ідеальної і реальної рідини. Рівняння Бернулі для потоку реальної рідини

…для елементарної струмини ідеальної рідини

Переміщення виділеного об'єму струмини супроводжувалося енергетичними змінами, які можна врахувати, застосувавши теорему про живі сили: сумарна зміна кінетичної енергії тіла дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх сил, що діють на тіло протягом одного і того ж періоду часу

(2.6)

де - зміна кінетичної енергії контрольного об'єму елементарної струмини за час ;

- сума роботи усіх зовнішніх сил за час

Зовнішніми силами по відношенню до виділеного об'єму являються сила земного тяжіння та сили тиску на перерізі

Рівняння Бернуллі можна прочитати так: повна питома енергія уздовж усталеної елементарної струмини ідеальної рідини незмінна.

(2.7)

або

, (2.8)

Енергетична (фізична) суть рівняння Бернуллі. Запишемо окремо, що значить, з енергетичної точки зору, кожний член рівняння Бернуллі:

- питома потенціальна енергія положення;

- питома потенціальна енергія тиску;

- питома кінетична енергія;

- повна питома потенціальна енергія;

- повна питома енергія.

Питомою енергією називається енергія, яка віднесена до одиниці ваги рідини.

Розглянуте рівняння було одержано Д. Бернуллі застосуванням до усталеної струмини теореми про кінетичну енергію.

Тому фізичну інтерпретацію рівняння Бернуллі насамперед варто давати з енергетичних позицій.

Геометрична суть рівняння Бернуллі

В гідравліці питому енергію рідини часто називають напором. Тому кожен доданок рівняння Бернуллі може бути названо напором.

Слід називати члени рівняння Бернуллі з гідравлічної точки зору так:

• - геометричний (геодезичний) напір;

- п'єзометричний напір,м;

- статичний напір;

- швидкісний (динамічний) напір, м;

- повний напір.

Усі зазначені напори вимірюються в одиницях довжини. Тепер рівняння Бернуллі можна читати так: уздовж усталеної струмини ідеальної рідини повний напір є величина постійна.

Механічна суть рівняння Бернуллі

Робота ваги й сили тиску дорівнюють зміні кінетичної енергії у перерізах 1-1 і 2-2.З механічної точки зору члени рівняння мають наступний зміст:

— робота сили ваги на одиницю ваги рідини;

— робота сил тиску на одиницю ваги рідини;

— зміна кінетичної енергії на одиницю ваги рідини.

Повна питома енергія елементарної струминки (гідродинамічний напір) на відрізку від перерізу 1-1 до перерізу 2-2 є сталою величиною. У цьому полягає закон збереження енергії, який виражається рівнянням Бернуллі.

Повна питома енергія елементарної струминки є величиною сталою для всіх розглядуваних перерізів, а питома потенціальна і питома кінетична енергія у різних пе­рерізах можуть бути різними.

… для елементарної струмини реальної рідини

Ідеальна рідина - рідина нев'язка, тому повна питома енергія уздовж струмини ідеальної рідини при усталеному русі постійна.

Реальні рідини мають в'язкість, тобто здатність чинити опір відносному переміщенню часток рідини. Унаслідок цього для реальної рідини запас повної питомої енергії в міру її руху вперед буде зменшуватись.

Ураховуючи рівняння, можна записати рівняння Бернуллі для сталого руху елементарного струмини в'язкої рідини так:

(2.9)

Фізичний зміст четвертого доданка в рівнянні Бернуллі - питомі втрати повної енергії, або втрати повного напору на подолання сил тертя й місцевих опорів.

…для потоку реальної рідини

Відомо, що потік складається з безлічі елементарних стру­минок. Тому рівняння Бернуллі для потоку є сума енергії всіх елементарних струминок по живому перерізові потоку. Але у по­тоці реальної в'язкої рідини швидкість по його перерізів неодна­кова. Більше того, визначити швидкості окремих елементарних струминок по живому перерізові потоку досить складно.

У такому разі вводять поняття середньої швидкості течії по­току "V", яка по живому перерізу потоку залишається однаковою. Але при такій заміні ми дещо зменшуємо значення кінетичної енергії потоку.

Така неточність компенсується введенням до швидкісного напору в рівнянні Бернуллі коефіцієнта а, який ераховує нерівномірність розподілу швидкостей по живому перерізові по­току. Інші члени рівняння Бернуллі, які визначають потенціальну питому енергію елементарної струминки за умови повільно змінного руху, однакові для будь-якої точки живого перерізу по­току, а тому від таких струминок до потоку для цих членів перей­ти неважко.

Урахувавши сказане, від рівняння Бернуллі для елементар­ної струминки реальної рідини можна безпосередньо пе­рейти до рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини у вигляді

(2.10)

Де α₁ і α₂ – коефіцієнти, які враховують нерівномірний розподіл швидкостей у живих перерізах потоку 1-2 та 2-2; h_w – втрати між перерізами 1-1і 2-2

Із фізичної точки зору α — це відношення кінетичної енергії потоку, визначеної за справжніми швидкостями частинок рідини u у даному перерізі до кінетичної енергії, яку визначено за однаковою по всьому перерізу швидкістю “ V”:

(2.11)

або

Коефіцієнт α завжди більше від одиниці (у літературі зустрічається — коефіцієнт Коріоліса).

Для прямолінійного турбулентного потоку в трубах α =1,05- 1,1, для такого ж потоку в земляних каналах α ~ 1,1-1,25, для пря­молінійних ламінарних потоків у трубах а ~ 2.

Для турбулентних потоків у складних умовах, наприклад, для криволінійних потоків, коефіцієнт Коріоліса може бути значно більшим. Значення коефіцієнта визначається експериментально. Поняття про ламінарні і турбулентні потоки будуть наведені нижче.

Рівняння Бернуллі є найважливішим рівнянням гідродинаміки, яке дає можливість установити зв'язок між трьома основними параметрами рухомої рідини (Z, Р і V), тобто між трьома складовими енергії - енергією положення, енергії тиску й кінетичною енергією потоку. Слід підкреслити, що рівняння Бер­нуллі справедливе лише для усталеного руху і його можна засто­сувати для таких живих перерізів потоку, в яких виконується умова повільно змінного руху