4. Основне рівняння гідостатики. Закон Архімеда

Основне рівняння гідростатики

Розглянемо найбільш поширений стан рівноваги крапельної рідини, коли на неї діє лише одна масова сила - сила тяжіння. На вільну поверхню діє сталий тиск p₀. Знайдемо величину гідростатичного тиску в довільній точці В, зануреній у рідину на глибину h . Виділимо навколо точки В елементарну горизонтальну площу dω. Розглянемо умови рівноваги призматичного об'єму рідини над елементарною площею dω . Умовою рівноваги виділеного об'єму рідини є рівність нулю суми всіх діючих сил.

Рис. 6 – Схема до основного рывняння гыдростатики

Горизонтальні складові сили тиску на бічну поверхню виділеного об'єму рідини взаємозрівноважуються, тому будемо враховувати лише складові, що діють уздовж вертикального напрямку:

, (1.17)

де dV = hdω - об'єм рідини, що знаходиться над елементарною площею dω

γ - питома вага рідини.

Зазначимо, що другий доданок в рівнянні 1.17 - це вага елементарного об'єму рідини dV.

Поділивши 1.6 на dω, матимемо:

, або (1.18)

, (1.18^*)

Одержане рівняння називають основним рівнянням гідростатики, адже користуючись ним можемо обчислити величину гідростатичного тиску в будь-якій точці рідини, що знаходиться в стані рівноваги.

Поверхня, усі точки якої відчувають однаковий тиск, називають поверхнею рівного тиску. Із рівняння (1.17^*) видно, що величина гідростатичного тиску однорідної рідини у стані спокою у кожній точці залежить лише від висоти стовпа рідини над нею.

Гідростатичний тиск у повільній точці рідини, що перебуває в стані рівноваги, є сума гідростатичного тиску на її поверхні р₀ та тиску, зумовленого вагою стовпа рідини над точкою. Другий доданок у рівнянні 1.17 часто називають ваговим тиском. Тиск, прикладений до зовнішньої поверхні рідини, що перебуває в стані рівноваги, діє на всі точки рідини однаково. У такій інтерпритації рівняння 1.17 ще називають законом Паскаля: тиск, який створюється у будь-якій точці рідини, що знаходиться у спокої, передається однаково всім точкам всередині рідини. Закон Паскаля широко використовується при конструюванні різних гідростатичних машин і установок, дія яких заснована на рівномірному розподіленні тиску всередині нерухомої рідини.

З рівняння 1.17 випливає, що гідростатичний тиск зростає з глибиною прямо пропорційно глибині занурення і на однаковій глибині є величина стала.

Поверхня, в усіх точках якої тиск однаковий, називається поверхнею рівною тиску. Поверхні рівного тиску — це горизонтальні поверхні h=const, а однією з таких поверхонь є вільна поверхня, де р₀ = const; h=0 .

Якщо замінити в 1.17 h на z₀ - z , то матимемо:

(1.19)

Зважаючи на те, що точка В була вибрана довільно, рівняння можна записати так:

(1.20)

або

(1.20*)

Це ще одна із форм запису основного рівняння гідростатики. Це рівняння формулюється так: "В об 'ємі однорідної рідини, що перебуває в стані спокою, в одній і тій же горизонтальній площині гідростатичний тиск однаковий". Або так: "В однорідній рідині, що перебуває в стані абсолютної рівноваги, поверхнями сталого тиску є горизонтальні площини Дійсно, із 9 випливає, що р = const можливе тільки при z - const.

Координату z прийнято називати геодезичною, або геометричною висотою (напором). Величина називається п'єзометричною висотою, або п'єзометричним напором. Сума називається гідростатичним напором. Отже, рівняння 1.9 свідчить про те, що гідростатичний напір є величиною сталою для всього об’єму нерухомої рідини.

Закон Архімеда

Закон Архімеда: на тіло, занурене в рідину, діє виштовхуючи сила, що рівна вазі об’єму рідини, витісненої тілом.

Рис 7 – Сили, що діють на тіло, занурене у рідину

На поверхню тіла діють сили гідростатичного тиску. Тиск рідини на тіло зверху:

, (1.21)

де γ – питома вага рідини;

Н₁ – глибина занурення верхньої частини тіла;

S – рівновеликі площі верхньої та нижньої частин тіла.

Тиск рідини на тіло знизу біде дорівнювати:

, (1.22)

Н₂ – глибина занурення нижньої частини тіла

Тиски рідини на бічні сторони тіла взаємно зрівноважуються. Після перетворень отрумуємо: (1.22) - результативний тиск рідини на занурене тіло – це вага рідини, якої дорівнює об’єму зануреного в рідину тіла. Сила Р є підйомною або виштовхуючою силою.

В інженерній практиці для розв'язання різноманітних технічних задач часом необхідно знати не лише тиск в окремій точці, а і сумарний гідростатичний тиск, тобто силу, яка діє на всю поверхню. Якщо це поверхня горизонтальна, то така сила тиску рідини дорівнює добутку площі цієї поверхні на тиск рідини у будь-якій її точці.

Слід сказати, що при дії на рідину із масових сил лише сили ваги, будь-яка плоска поверхня, котра проведена через точки, де діє однаковий тиск, називається поверхнею рівного тиску. Такою поверхнею зокрема, є вільна поверхня рідини, тому що на неї діє в усіх точках лише атмосферний тиск (це частковий випадок по­верхні рівного тиску).

У рідині, яка знаходиться в стані спокою, всі поверхні рівно­го тиску горизонтальні (це не розповсюджується на моря та океа­ни).